第一章特殊的平行四边形专项测试题(四)
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2、如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（）．
A. 与互相垂直平分
B. 且
C. 且
D. 且
3、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
4、能判别一个四边形是正方形的条件是（ ）.
A. 一组邻边相等且对角线互相平分.
B. 对角线互相垂直平分且相等.
C. —组对边平行，一组对角相等.
D. 对角线相等，对边平行且相等.
5、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（ ）
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四边形
6、如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、如图，正方形的边长为，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
8、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
9、下列命题中，真命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
10、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11、如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，．给出如下结论：
①；②四边形为菱形；③；④
；其中正确结论的是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
13、如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足一个条件，是（ ）
A. 四边形是梯形
B. 四边形是菱形
C. 对角线
D.
14、如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
15、如图，已知号、号两个正方形的面积和为，号、号两个正方形的面积和为，则这个正方形的面积和为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、如图，在菱形中，对角线、交于点，为边的中点，若菱形的周长为，则的长为 ．
17、如图，将矩形沿折叠，若,则为 .
18、1.正方形的定义
有一组邻边 且一个角是 的平行四边形叫做正方形。
19、如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是 ．
20、如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快 后，四边形成为矩形．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，已知是长方形边上的一点，且，是对角线上的任意一点，于点，与点，请你猜想、、他们之间有什么关系？并证明你的结论.
22、如图，正方形的边长为，以对角线为边作菱形，点、、在同一直线上．
求的长．
23、如图，在四边形中，，、分别是、的中点，、分别是对角线、的中点．
(1) 求证：四边形是菱形．
(2) 若，则当时，求四边形的面积．
第一章特殊的平行四边形专项测试题(四) 答案部分
一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）
1、如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：四边形为平行四边形，
，且，
又，
，且，
四边形为平行四边形，
，，，平行四边形为矩形；
，，四边形不能为矩形；
，，平行四边形为矩形；
，，平行四边形为矩形．
2、如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四边形的基础上，进一步证明（）．
A. 与互相垂直平分
B.
且
C. 且
D. 且
【答案】C
【解析】解：
且，只能证明四边形是菱形，
且错误，
且，能证明四边形是正方形，
且正确，
且，只能证明四边形是矩形，
且错误，
与互相垂直平分，只能证明四边形是菱形，
与互相垂直平分错误，
故答案为：且．
3、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（ ).
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【答案】C
【解析】解：
由题意知，，，
四边形是平行四边形，
.
四边形为矩形，矩形的对角线相等，
，
，
平行四边形是菱形.
故答案为：菱形.
4、能判别一个四边形是正方形的条件是（ ）.
A. 一组邻边相等且对角线互相平分.
B. 对角线互相垂直平分且相等.
C. —组对边平行，一组对角相等.
D. 对角线相等，对边平行且相等.
【答案】B
【解析】解：
对角线相等、对边平行且相等的四边形是矩形，邻边相等的矩形才是正方形；
”一组对边平行、一组对角相等“不能判定四边形是平行四边形，因而不能判定四边形是正方形；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形；
一组邻边相等且对角线互相平分是菱形.
故答案应选：对角线互相垂直平分且相等.
5、设、表示两个集合，我们规定“”表示与的公共部分，并称之为与的交集．例如：若正数，整数，则正整数．若矩形，菱形，则所对应的集合是（ ）
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四边形
【答案】A
【解析】解：“”表示与的公共部分，
矩形，菱形，
则既是矩形又是菱形的为正方形，则
正方形．
6、如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：
，
，
与面积相等，
设，则，
，
，
解得，
．
7、如图，正方形的边长为，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
．
在、、和中，
，
（），
，，
四边形是菱形，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
四边形的面积是：，
8、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则
的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：连结，如图所示：
，，，
，
，，
四边形是矩形，
．
是的中点，
，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，
最短时，，
当最短时，．
9、下列命题中，真命题是（ ）
A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】解：两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，该选项命题错误；
两条对角线互相垂直且相等且互相平分的四边形是才正方形，该选项命题错误；
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，该命题正确.
故答案为：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
10、如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点、分别在、上，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：四边形的四边都相等，
四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，，
，，
，，
由三角形的内角和定理得：，
设，则，
，
，
解得：，
．
11、如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：连结，与交于点，如图，
平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
同理：，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
．
12、如图，分别以直角的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为的中点，与交于点，与交于点，，．给出如下结论：
①；②四边形为菱形；③；④；其中正确结论的是（ ）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
【答案】C
【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，，
为的中点，
，
，
，
，
，
，故①正确，
，，
，
是的中点，
，
，，
，故④说法正确；
，，
，，
，
，
，
，
，
（），
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形不是菱形；故②说法不正确；
，
，
，则，故③说法正确．
13、如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形
只需要满足一个条件，是（ ）
A. 四边形是梯形
B. 四边形是菱形
C. 对角线
D.
【答案】D
【解析】解：在四边形中，、、、别是、、、的中点，
，，
；
同理，，
四边形是平行四边形；
若四边形是梯形时，，则，这与平行四边形的对边相矛盾；
若四边形是菱形时，点四点共线；
若对角线时，四边形可能是等腰梯形；
当时，；所以平行四边形是菱形；
14、如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：四边形为菱形，
，，
，，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
．
15、如图，已知号、号两个正方形的面积和为，号、号两个正方形的面积和为，则这个正方形的面积和为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：
如下图所示：
三个四边形均为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
正方形的面积等于正方形的面积加上正方形的面积，
即，
同理可得出：，
．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、如图，在菱形中，对角线、交于点，为边的中点，若菱形的周长为，则的长为 ．
【答案】4
【解析】
解：
四边形是菱形，
，，
，
又，
，
在中，是斜边上的中线，
，
故答案为：．
17、如图，将矩形沿折叠，若,则为 .
【答案】60
【解析】解：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质得
,,
,
即,
,
,
在中，，
，
，
,
故答案为：.
18、1.正方形的定义
有一组邻边 且一个角是 的平行四边形叫做正方形。
【答案】相等，直角
【解析】解:有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
故答案是,相等,直角.
19、如图，正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是 ．
【答案】25
【解析】解：四边形为正方形，
，，
正方形绕着点逆时针旋转得到正方形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
20、如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快 后，四边形成为矩形．
【答案】4
【解析】解：设最快秒，是矩形，，
要使是矩形，则，
得 ．
解得．
三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）
21、如图，已知是长方形边上的一点，且，是对角线上的任意一点，于点，与点，请你猜想、、他们之间有什么关系？并证明你的结论.
【解析】解：，证明如下：
如图，连接、 ，∵，，，
又∵四边形为矩形，∴，
∴，
∴，
∴．
22、如图，正方形的边长为，以对角线为边作菱形，点、、在同一直线上．
求的长．
【解析】解：过点作，交的延长线于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
则，
在中，
，
即，
即，
解得：或（舍去），
，
．
23、如图，在四边形中，，、分别是、的中点，、分别是对角线、的中点．
(1) 求证：四边形是菱形．
【解析】证明：四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，，．
，
．
四边形是菱形．
(2) 若，则当时，求四边形的面积．
【解析】解：四边形中，、、分别是、、的中点，
，．
，．
．
．
菱形是正方形．
，
．
正方形的面积．
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