《平面图形的认识（二）》单元测试卷
一．选择题（共8小题）
1．下列四个图形中，不能推出∠2与∠1相等的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为（ ）
A．7：35 B．7：34 C．7：33 D．7：32
3．下列说法中，①三角形的内角中最多有一个钝角；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，因此，n边形的内角和是（n﹣2）•180°；④六边形的对角线有7条，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，4
5．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120° B．105° C．60° D．45°
6．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角有（ ）个．
A．2 B．4 C．5 D．6
7．a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（ ）
A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c
8．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
二．填空题（共10小题）
9．如图，直线a∥b，∠P=75°，∠2=30°，则∠1= ．
10．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A=50°，则∠D= 度．
11．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是 ．
12．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2= °．
13．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD=6，那么AF的长是 ．
14．如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于 ．
15．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 对．
16．如图1所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °．
17．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥
3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且==，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是 ．（用含有S与n的式子表示）
18．如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 个单位．
三．解答题（共8小题）
19．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC=50°，∠ACB=60°”改为“∠A=70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A=n°，求∠BOC的度数．
20．如图，已知点D、F、E、G都在△ABC的边上，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．（请在下面的空格处填写理由或数学式）
解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2= （ ）
∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1= （ ）
∴ ∥ ，（ ）
∴∠AGD+ =180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵ ，（已知）
∴∠AGD= （等式性质）
21．如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．
22．已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
23．如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．
（1）画出△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD和高线CE；（利用网格点和直尺画图）
（3）△BCD的面积为 ．
24．如图，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D、F，∠1=∠2．
（1）DG与BA平行吗？为什么？
（2）若∠B=51°，∠C=54°，求∠CGD的度数．
25．（1）如图①，已知任意△ABC，过点C作DE∥AB，求证：△ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；
（2）如图②，求证：∠AGF=∠AEF+∠F；
（3）如图③，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F的度数．
26．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
4
5
6
7
8
……
n
多边形的顶点数
从一个顶点出发的对角线的条数
1
2
3
4
5
……
①
多边形对角线的总条数
2
5
9
14
20
……
②
（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中① ；② ；
（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列四个图形中，不能推出∠2与∠1相等的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵∠1和∠2互为对顶角，
∴∠1=∠2，故本选项错误；
B、∵a∥b，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），
不能判断∠1=∠2，故本选项正确；
C、∵a∥b，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），故本选项错误；
D、如图，∵a∥b，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1=∠2，故本选项错误；
故选B．
2．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为（ ）
A．7：35 B．7：34 C．7：33 D．7：32
【解答】解：设x分钟后两船距离最近，
当如图EF⊥BD，AE=DF时，两船距离最近，
根据题意得出：36x=18.9﹣27x，
解得：x=0.3，
0.3小时=0.3×60分钟=18（分钟），
则两船距离最近时的时刻为：7：33．
故选：C．
3．下列说法中，①三角形的内角中最多有一个钝角；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；③从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，因此，n边形的内角和是（n﹣2）•180°；④六边形的对角线有7条，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：①假设一个三角形有两个钝角，那么这两个钝角的和大于180°，与三角形的内角和为180°相矛盾．故三角形的内角中最多有一个钝角，正确；
②三角形的中线把三角形分成的两个三角形的底边相等，高相同，所以面积相等，正确；
③
因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分成（n﹣2）个三角形，每一个三角形的内角和是180°，因此，n边形的内角和是（n﹣2）•180°，正确；
④n边形共有条对角线，所以六边形的对角线有6×3÷2=9条，错误．
故选B．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．7，4，2 C．3，4，8 D．3，3，4
【解答】解：A．∵3+2=5，∴2，3，5不能组成三角形，故A错误；
B．∵4+2＜7，∴7，4，2不能组成三角形，故B错误；
C．∵4+3＜8，∴3，4，8不能组成三角形，故C错误；
D．∵3+3＞4，∴3，3，4能组成三角形，故D正确；
故选：D．
5．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120° B．105° C．60° D．45°
【解答】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，
由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°，
=45°+60°，
=105°．
故选B．
6．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角有（ ）个．
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：根据两直线平行，同位角相等、内错角相等，与∠1相等的角有：
∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个．
故选C．
7．a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（ ）
A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c
【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|
=（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）
=a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c
=0
故选：A．
8．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，
∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，
∴l2⊥l8．
∵l1⊥l2，
∴l1∥l8．
故选A
二．填空题（共10小题）
9．如图，直线a∥b，∠P=75°，∠2=30°，则∠1= 45° ．
【解答】解：过P作PM∥直线a，
∵直线a∥b，
∴直线a∥b∥PM，
∵∠2=30°，
∴∠EPM=∠2=30°，
又∵∠EPF=75°，
∴∠FPM=45°，
∴∠1=∠FPM=45°，
故答案为：45°．
10．如图，已知△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，若∠A=50°，则∠D= 25 度．
【解答】解：∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2（∠DCE﹣∠DBC），∠D=∠DCE﹣∠DBC，
∴∠A=2∠D，
∵∠A=50°，
∴∠D=25°．
故答案为：25．
11．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是 10 ．
【解答】解：设正多边形的边数为n，
由题意得， =144°，
解得n=10．
故答案为：10．
12．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1=27°，那么∠2= 57 °．
【解答】解：
∵将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，∠1=27°，
∴∠4=90°﹣30°﹣27°=33°，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠4=33°，
∴∠2=180°﹣90°﹣33°=57°，
故答案为：57°．
13．已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD=6，那么AF的长是 4 ．
【解答】解：∵AD、BE是△ABC的中线，
∴点F是△ABC的重心，
∴AF=AD=4，
故答案为：4．
14．如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于 4 ．
【解答】解：如图，连接AE并延长交BD于G，连接AF并延长交CD于H，
∵点E、F分别是△ABD和△ACD的重心，
∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，
∵BC=12，
∴GH=DG+DH=（BD+CD）=BC=×12=6，
∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，
∴△EAF∽△GAH，
∴==，
∴EF=4，
故答案为：4．
15．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有 3 对．
【解答】解：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共三对．
故答案为：3．
16．如图1所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 540 °．
【解答】解：如图2，连接BE，
由对顶三角形可得，∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，
∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°，
即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G=540°，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°，
故答案为：540．
17．如图，△ABC的面积为S．点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M，N分别在边AB，AC上，且==，连接MP1，MP2，MP3，…，MPn﹣1，连接NB，NP1，NP2，…，NPn﹣1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，…，线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，…，△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是 •S ．（用含有S与n的式子表示）
【解答】解：连接MN，设BN交MP1于O1，MP2交NP1于O2，MP3交NP2于O3．
∵==，
∴MN∥BC，
∴==，
∵点P1，P2，P3，…，Pn﹣1是边BC的n等分点，
∴MN=BP1=P1P2=P2P3，
∴四边形MNP1B，四边形MNP2P1，四边形MNP3P2都是平行四边形，
易知S△ABN=•S，S△BCN=•S，S△MNB=•S，
∴===•S，
∴S阴=S△NBC﹣（n﹣1）•﹣=•S﹣（n﹣1）••S﹣S=•S，
故答案为•S．
18．如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 8 个单位．
【解答】解：根据题意，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
故四边形ABFD的边长分别为AD=1个单位，BF=3个单位，AB=DF=2个单位；
故其周长为8个单位．
故答案为：8．
三．解答题（共8小题）
19．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
（1）∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数，并说明理由．
（2）题（1）中，如将“∠ABC=50°，∠ACB=60°”改为“∠A=70°”，求∠BOC的度数．
（3）若∠A=n°，求∠BOC的度数．
【解答】解：如图，∵BO、CO是角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠1+3∠2+∠A=180°，
∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC=360°，
∴2∠BOC﹣∠A=180°，
∴∠BOC=90°+∠A，
（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，
∴∠BOC=90°+×70°=125°；
（2）∠BOC=90°+∠A=125°；
（3）∠BOC=90°+n°．
20．如图，已知点D、F、E、G都在△ABC的边上，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．（请在下面的空格处填写理由或数学式）
解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2= ∠3 （ 两直线平行同位角相等 ）
∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1= ∠3 （ 等量代换 ）
∴ DG ∥ BA ，（ 内错角相等两直线平行 ）
∴∠AGD+ ∠CAB =180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵ ∠CAB=70° ，（已知）
∴∠AGD= 110° （等式性质）
【解答】解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2=∠3（两直线平行同位角相等）
∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3（等量代换）
∴DG∥BA，（内错角相等两直线平行）
∴∠AGD+∠CAB=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠CAB=70°，（已知）
∴∠AGD=110°（等式性质）．
故答案为：∠3；两直线平行同位角相等；∠3；等量代换；DG；BA；内错角相等两直线平行；∠CAB；∠CAB；70°；110°
21．如图，A，B分别为CD，CE的中点，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B．求∠AEC的度数．
【解答】解：连接DE
∵A，B分别为CD，CE的中点，
AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B，
∴CD=CE=DE，
∴△CDE为等边三角形．
∴∠C=60°．
∴∠AEC=90°﹣∠C=30°．
22．已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
【解答】证明：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠B+∠C，
∵∠B=∠C，
∴∠EAC=2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∴∠B=∠EAD，
∴AD∥BC．
23．如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A′B′C′．
（1）画出△A′B′C′；
（2）画出AB边上的中线CD和高线CE；（利用网格点和直尺画图）
（3）△BCD的面积为 4 ．
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，CD、CE即为所求；
（3）△BCD的面积为×4×4﹣×1×3﹣×1×3﹣1=4，
故答案为：4
24．如图，△ABC中，点E在边BA上，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别是D、F，∠1=∠2．
（1）DG与BA平行吗？为什么？
（2）若∠B=51°，∠C=54°，求∠CGD的度数．
【解答】解：（1）平行，
理由如下：∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴∠BFE=∠BDA=90°，
∴EF∥AD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴DG∥AB；
（2）∵DG∥AB，
∴∠CDG=∠B=51°，
∵∠C+∠CDG+∠CGD=180°，
∴∠CGD=180°﹣51°﹣54°=75°．
25．（1）如图①，已知任意△ABC，过点C作DE∥AB，求证：△ABC的三个内角（即∠A，∠B，∠ACB）之和等于180°；
（2）如图②，求证：∠AGF=∠AEF+∠F；
（3）如图③，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=150°，求∠F的度数．
【解答】证明：（1）如图①所示，
在△ABC中，∵DE∥BC，
∴∠B=∠1，∠A=∠2（内错角相等）．
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°
即三角形的内角和为180°；
（2）∵∠AGF+∠FGE=180°，
由（2）知，∠GEF+∠EG+∠FGE=180°，
∴∠AGF=∠AEF+∠F；
（3）∵AB∥CD，∠CDE=119°，
∴∠DEB=119°，∠AED=61°，
∵GF交∠DEB的平分线EF于点F，
∴∠DEF=59.5°，
∴∠AEF=120.5°，
∵∠AGF=150°，
∵∠AGF=∠AEF+∠F，
∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°．
26．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数
4
5
6
7
8
……
n
从一个顶点出发的对角线的条数
1
2
3
4
5
……
①
n﹣3
多边形对角线的总条数
……
②
2
5
9
14
20
n（n﹣3）
（1）观察探究 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中① n﹣3 ；② n（n﹣3） ；
（2）实际应用 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳 乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
【解答】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为n（n﹣3）；
故答案为：n﹣3， n（n﹣3）；
（2）∵3×6=18，
∴数学社团的同学们一共将拨打电话为×18×（18﹣3）=135（个）；
（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n（n﹣3）；
数学社团有18名同学，当n=18时，×18×（18﹣3）=135．
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