2018年浙江高考数学二轮复习练习：专题限时集训13 圆锥曲线中的综合问题 Word版含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题限时集训(五)　数列求和及其综合应用 ‎ (对应学生用书第123页)‎ ‎ [建议A、B组各用时：45分钟]‎ ‎[A组　高考达标]‎ 一、选择题 ‎1．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝(　　) ‎ ‎【导学号：68334073】‎ ‎ A．2n＋1　　　　　 B．2n ‎ C．2n－1 D．2n－2‎ ‎ A　[由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝‎2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.]‎ ‎2．数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝(　　)‎ ‎ A. B. ‎ C．5 D．6‎ ‎ A　[因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝，所以a5＝····a1，即a5＝××××1＝.故选A.]‎ ‎3. ＋＋＋…＋的值为(　　)‎ ‎ A.　　 B.－ ‎ C.－ D.－＋ ‎ C　[∵＝＝ ‎ ＝，‎ ‎ ∴＋＋＋…＋＝ ‎ ‎ ＝ ‎ ＝－.]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．在等差数列{an}中，a1＝－2 016，其前n项和为Sn，若－＝2 006，则S2 018的值等于(　　)‎ ‎ 【导学号：68334074】‎ ‎ A．2 015 B．－2 016‎ ‎ C．2 018 D．－2 017‎ ‎ C　[等差数列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即数列是首项为a1＝－2 016，公差为的等差数列．因为－＝2 006，所以(2 016－10)＝2 006，＝1，所以S2 018‎ ‎ ＝2 018[(－2 016)＋(2 018－1)×1]‎ ‎ ＝2 018，选C.]‎ ‎5．数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋等于(　　)‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ A　[令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，‎ ‎ 所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，‎ ‎ 因此＝＝2，‎ ‎ 所以＋＋＋…＋ ‎ ＝2 ‎ ＝2＝.故选A.]‎ 二、填空题 ‎6．设Sn是数列{an}的前n项和，an＝4Sn－3，则S4＝__________. ‎ ‎【导学号：68334075】‎ ‎ 　[∵an＝4Sn－3，∴当n＝1时，a1＝‎4a1－3，解得a1＝1，当n≥2时，∵4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1为首项，－为公比的等比数列，∴S4＝‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))4,1＋\f(1,3))＝×＝.]‎ ‎7．设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．‎ ‎ 　[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]‎ ‎8．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1，则通项公式an＝________.‎ ‎ n∈N*　[由Sn＝2an＋1(n∈N*)可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)两式相减得：‎ ‎ an＝2an＋1－2an，即＝(n≥2，n∈N*)．‎ ‎ 又由a1＝1及Sn＝2an＋1(n∈N*)可得a2＝，‎ ‎ 所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2＝，公比为的等比数列，‎ ‎ 故当n>1，n∈N*时有an＝·n－2，‎ ‎ 所以有an＝n∈N*.]‎ 三、解答题 ‎9．已知等差数列{an}中a2＝5，前4项和S4＝28. 【导学号：68334076】‎ ‎ (1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎ (2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.‎ ‎ [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得 ‎ 2分 ‎ ∴ 4分 ‎ ∴an＝a1＋(n－1)×d＝4n－3(n∈N*). 6分 ‎ (2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)， 10分 ‎ T2n＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(8n－3)＝4×n＝4n(n∈N*). 15分 ‎10．(2017·衢州市高三数学质量检测)已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*)．‎ ‎ (1)求S1，S2及数列{Sn}的通项公式；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ (2)若数列{bn}满足bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，≤|Tn|≤.‎ ‎ [解]　(1)数列{an}满足Sn＝2an＋1，‎ ‎ 则Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，即3Sn＝2Sn＋1， 3分 ‎ 所以＝，S1＝a1＝1，所以S2＝， 5分 ‎ 即数列{Sn}为以1为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎ 所以Sn＝n－1(n∈N*). 7分 ‎ (2)证明：在数列{bn}中，bn＝＝－1×， 9分 ‎ {bn}的前n项和的绝对值|Tn|＝－1×1＋－＋＋－3＋…＋＝1＋－＋＋－3＋…＋， 12分 ‎ 当n≥2时，1－≤1＋－＋＋－3＋…＋≤1＋－＋＝，即≤|Tn|≤. 15分 ‎[B组　名校冲刺]‎ 一、选择题 ‎1．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于 ‎(　　) 【导学号：68334077】‎ ‎ A.　　　　　 B. ‎ C. D. ‎ B　[y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，‎ ‎ 即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，‎ ‎ ∴an＝n，∴bn＝，‎ ‎ ∴T10＝1－＝，故选B.]‎ ‎2．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于(　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ A．445 B．765‎ ‎ C．1 080 D．3 105‎ ‎ B　[∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，∴{an}是以－60为首项，3为公差的等差数列，‎ ‎ ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.‎ ‎ 令an≤0，得n≤21，∴前20项都为负值．‎ ‎ ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30.‎ ‎ ∵Sn＝n＝×n，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765，故选B.]‎ ‎3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ B　[由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，‎ ‎ 从而···…·＝··…·，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.故选B.]‎ ‎4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了 ‎(　　)‎ ‎ A．192里 B．96里 ‎ C．48里 D．24里 ‎ B　[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]‎ 二、填空题 ‎5．(2017·温州适应性测试)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝__________.‎ ‎ 【导学号：68334078】‎ ‎ 3×21 008－3　[∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1②，∵①÷②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 016＝＋＝3×21 008－3.]‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________. ‎ ‎ 64　[∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a‎1a5，‎ ‎ ∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)，‎ ‎ ∴d2－2d＝0，‎ ‎ ∵d≠0，∴d＝2.‎ ‎ ∴S8＝8×1＋×2＝64.]‎ 三、解答题 ‎7．(2017·金华一中高考5月模拟考试)数列{an}中，a0＝2 017，an＋1＝(n∈N,0≤n≤1 009)，求证：‎ ‎ (1)an＞an＋1；‎ ‎ (2)n≥1时，2 017＜an＋n＜2 018.‎ ‎ [证明]　(1)由题可知an＞0(0≤n≤1 009)，‎ ‎ 又an＋1＝，则an－an＋1＝＞0， 5分 ‎ 所以an＞an＋1. 7分 ‎ (2)an＝a0＋ (ai－ai－1)‎ ‎ ＝a0－ ‎ ＝a0－ ‎ ＝a0－n＋ ＞a0－n，n≥1，‎ ‎ 故an＋n＞a0＝2 017，n≥1. 9分 所以an－1＞a0－(n－1)，即an＋1＋1＞a0－n＋2，n≥2.‎ 且由(1)知，a0＞a1＞a2＞…＞an＞…，‎ 则＜，n≥2，i＝1,2，…，n. 11分 由0≤n≤1 009得a0－n＋2＞n，当n≥2时，‎ ＜＜＜1，‎ 故an＝a0－n＋ ＜a0－n＋1，‎ 即an＋n＜a0＋1＝2 018，n≥2. 13分 又当n＝1时，易得2 017＜a1＋1＜2 018.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以当n≥1时，2 017＜an＋n＜2 018. 15分 ‎8．(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝sin，n∈N*.‎ ‎ (1)证明：≤an＜an＋1＜1；‎ ‎ (2)设Sn是数列{an}的前n项和，证明：Sn＞n－.‎ ‎ 【导学号：68334079】‎ ‎ [证明]　(1)①当n＝1时，a1＝，‎ ‎ a2＝sin＝sin＝，‎ ‎ 所以≤a1＜a2＜1，故结论成立. 3分 ‎ ②假设当n＝k时结论成立，即≤ak＜ak＋1＜1，‎ ‎ 所以≤ak＜ak＋1＜，‎ ‎ 因为函数y＝sin x在上单调递增，所以＜＝sin≤sin＜sin＜sin＝1. 5分 ‎ 即≤ak＋1＜ak＋2＜1，也就是说当n＝k＋1时，结论成立．‎ ‎ 由①②可知，对一切n∈N*均有≤an＜an＋1＜1. 7分 ‎ (2)1－an＋1＝1－sin＝1－cos ‎ ＝2sin2. 8分 ‎ 由(1)知1－an∈，‎ ‎ 所以0＜(1－an)≤，‎ ‎ 由三角函数性质得 ‎ 2sin2＜22＝(1－an)(1－an)≤(1－an)＝(1－an)，‎ ‎ 即1－an＋1＜(1－an)，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 所以1－an＜(1－a1)n－1＝n－1， 13分 ‎ 故n－Sn＝(1－a1)＋(1－a2)＋…＋(1－an)‎ ‎ ＜×＜ ‎ ＝＜.‎ ‎ 即Sn＞n－. 15分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费