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第三单元 函数
第十五课时 二次函数的综合性问题
长沙9年中考 (2009～2017)
命题点1 与函数有关的阅读理解(9年6考)
1．(2016长沙25题10分)若抛物线L：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．
(1)若直线y＝mx＋1与抛物线y＝x2－2x＋n具有“一带一路”关系，求m，n的值；
(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y＝的图象上，它的“带线”l的解析式为y＝2x－4，求此“路线”L的解析式；
(3)当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L：y＝ax2＋(3k2－2k＋1)x＋k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．
2．(2015长沙25题10分)在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
(1)求函数y＝x＋2的图象上所有“中国结”的坐标；
(2)若函数y＝(k≠0，k为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；
(3)若二次函数y＝(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k(k为常数)的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含有多少个“中国结”？
3．(2014长沙25题10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点(－1，－1)，(0，0)，(，)，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
(1)若点P(2，m)是反比例函数y＝(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
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(2)函数y＝3kx＋s－1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足－23c，x2＝1，求点P(，)与原点O的距离OP的取值范围．
6．(2011长沙25题10分)使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x－1，令y＝0，可得x＝1，我们就说1是函数y＝x－1的零点．
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已知函数y＝x2－2mx－2(m＋3)(m为常数)．
(1)当m＝0时，求该函数的零点；
(2)证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；
(3)设函数的两个零点分别为x1和x2，且＋＝－，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线y＝x－10上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式．
命题点2 二次函数综合题(必考)
7. (2016长沙26题10分)如图，直线l：y＝－x＋1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°.
(1)求△AOB的周长；
(2)设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；
(3)当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ＝m.若过点A的二次函数y＝ax2＋bx＋c同时满足以下两个条件：
①6a＋3b＋2c＝0；
②当m≤x≤m＋2时，函数y的最大值等于.
求二次项系数a的值．
第7题图
8. (2017长沙26题10分)如图，抛物线y＝mx2－16mx＋48m(m>0)与x轴交于A，B两点(点B在点A左侧)，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E.
(1)若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；
(2)若对任意m>0，C，E两点总关于原点对称，求点D的坐标(用含m的式子表示)；
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(3)当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB＝∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P(x0，y0)总有n＋≥－4my－12y0－50成立，求实数n的最小值．
第8题图
9. (2010长沙26题10分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA＝8 cm，OC＝8 cm.现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．
(1)用含t的式子表示△OPQ的面积S；
(2)求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
第9题图
10. (2015长沙26题10分)若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＞0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．
(1)当x1＝c＝2，a＝时，求x2与b的值；
(2)当x1＝2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
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(3)当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB、△PAB的面积分别为S1、S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．
第10题图
11. (2014长沙26题10分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为y轴，且经过(0，0)和(，)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)．
(1)求a，b，c的值；
(2)求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1，0)，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．
第11题图
12. (2009长沙26题10分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A(－3，0)，C(0，)，且当x＝－4和x＝2时二次函数的函数值y相等．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)若点M，N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA，BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
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(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
第12题图
答案
1．(1)解：由题意可知，直线y＝mx＋1与y轴的交点P(0，1)在抛物线y＝x2－2x＋n上，
∴n＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，则顶点Q的坐标为(1，0)，
将Q(1，0)代入y＝mx＋1得0＝m＋1，∴m＝－1，
∴m＝－1，n＝1；(2分)
(2)设“路线”L的解析式为y＝a(x－h)2＋k，
∵顶点(h，k)在y＝和y＝2x－4上，
∴，解得或
，
∴顶点为(－1，－6)或(3，2)，(3分)
∴“路线”L的解析式为y＝a(x＋1)2－6或y＝a(x－3)2＋2，(4分)
∵“路线”L过(0，－4)，
将(0，－4)代入“路线”L的解析式，解得a＝2或a＝－，
∴“路线”L的解析式为y＝2(x＋1)2－6或y＝－(x－3)2＋2；(5分)
(3)抛物线L的顶点坐标为
Q(－，
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)，与y轴的交点为P(0，k)，
设“带线”l的解析式为y＝px＋k(p≠0)，代入顶点坐标得p＝，
∴y＝x＋k，(6分)
令y＝0，解得x＝－，
∴“带线”l交x轴于(－，0)，
∵≤k≤2，3k2－2k＋1＝3(k－)2＋＞0，
∴“带线”l与坐标轴围成的三角形面积为
S＝··k＝＝，(8分)
令t＝，
∵≤k≤2，
∴≤t≤2，
∴S＝，
∴＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2，
∵≤t≤2，1＞0，
∴当t＝2，即k＝时，S的最大值为3，此时的最小值为；
当t＝1时，即k＝1时，的最小值为2，此时S的最大值为，
∴≤S≤.
故三角形面积的取值范围为≤S≤.(10分)
2．解：(1)∵x的系数是无理数，
∴只有当x＝0时，y才能取得整数，
即当x＝0时，y＝2，
此时坐标为(0，2)，
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∴函数y＝x＋2的图象上所有“中国结”的坐标是(0，2)；
(2分)
(2)①当k＝1时， xy＝1，显然反比例函数的图象上有且只有两个“中国结”，其坐标分别为(1，1)、(－1，－1)；(3分)
②当k＝－1时， xy＝－1，同理反比例函数的图象上有且只有两个“中国结”，其坐标分别为(－1，1)、(1，－1)；(3分)
③当k≠±1时，如k＝2时，则图象上的“中国结”个数超过两个，有(2，1)、(－2，－1)、(1，2)、(－1，－2)，类似的当k≠±1时，中国结个数必将多于两个．
∴只有当k值取±1时，反比例函数图象上有且只有两个“中国结”，
∴当k＝1时，其相应“中国结”的坐标分别是(1，1)、(－1，－1)；当k＝－1时，其相应“中国结”的坐标分别是(－1，1)、(1，－1)．(6分)
(3)由题意得(k2－3k＋2)x2＋(2k2－4k＋1)x＋k2－k＝0，
解得x1＝－，x2＝－，
∵交点都是“中国结”，
∴当k≠1且k≠2时，关于x的二次方程有两个不相等的整数根x1、x2，
由x1＝－，可得k＝ ，
同理，由x2＝－，可得k＝ ，
∴＝，
化简得x1x2＋2x2＝－1，即x2(x1＋2)＝－1，
∵x1，x2是整数，
∴得到关于x1，x2的方程组：
或，
解得或(舍去)，(7分)
当时，k＝＝，
此时二次函数解析式是y＝－x2－x＋＝－(x＋3)(x－1)＝1－(x＋1)2，(8分)
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∴由其图象可以得到，二次函数图象与x轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含6个“中国结”，分别为(－3，0)，(－2，0)，(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(1，0)．(10分)
3．(1)解：∵点P(2，m)是一个“梦之点”，且“梦之点”横、纵坐标相等，
∴m＝2，即点P 坐标是(2，2)，
又∵点P 在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝xy＝4，
∴反比例函数的解析式是y＝；(2分)
(2)解：假设函数y＝3kx＋s－1图象上存在“梦之点”，则y＝x，
∴x＝3kx＋s－1，
整理得(1－3k)x＝s－1，
分类讨论如下：
①当k＝且s＝1时，x有无数个解，因此有无数个“梦之点”；(3分)
②当k＝且s≠1时，方程无解，图象上所有的点都不是“梦之点”；(4分)
③当k≠时，图象上仅有一个“梦之点”(，)；(5分)
(3)解：根据“梦之点”的定义得x＝ax2＋bx＋1有两个不相等的实数根，即ax2＋(b－1)x＋1＝0(a＞0，a、b都是常数)，
∴方程的根是，∵|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝4，
∴(b－1)2＝4a2＋4a，
又∵Δ＝(b－1)2－4a＝4a2＞0，a＞0，
∴(b－1)＝±2，
分类讨论如下：
①当(b－1)＝2时，方程的根是＝＝－
±1，
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∵－2
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