长沙9年中考第21课时　锐角三角函数及其应用（Word版）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第四单元 三角形 第二十一课时　锐角三角形函数及其应用 长沙9年中考　(2009～2017)‎ 命题点1 解直角三角形的实际应用(9年6考)‎ 类型一　解一个直角三角形 ‎1．(2015长沙11题3分)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为(　　)‎ 第1题图 A. 米 B. 30sinα米 C. 30tanα米 D. 30cosα米 ‎2．(2009长沙19题6分)某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？(结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732)‎ ‎　‎ 第2题图 ‎3. (2017长沙22题8分)为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．‎ ‎(1)求∠APB的度数；‎ ‎(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？‎ 第3题图 类型二　解两个直角三角形 ‎4．(2016长沙11题3分)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120 m，这栋楼的高度为(　　)‎ A. 160 m　　　　B. 120 m C. 300 m D. 160 m ‎　‎ 第4题图 ‎5．(2010长沙19题6分)为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图)．已知立杆AB高度是3 m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的高度．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ 第5题图 类型三　与特殊四边形结合 ‎6．(2011长沙24题9分)如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝4.8米，引桥水平跨度AC＝8米．‎ ‎(1)求水平平台DE的长度；‎ ‎(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比．(参考数据：取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75)‎ ‎　‎ 第6题图 考情导向 ‎7．(2017张家界)位于张家界核心景区内的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3米，求像体AD的高度(最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824)‎ 第7题图 ‎8．(2013岳阳)某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2 m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°. ‎ ‎(1)求舞台的高AC(结果保留根号)；‎ ‎(2)在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3 m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由. ‎ 第8题图 ‎9．(2016邵阳)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73)‎ 第9题图 ‎10．(2017衡阳)衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内．如图，为了测量来雁塔的高度，在E处用高为1.5米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10.4米，又测得塔顶C的仰角为60°，求来雁塔的高度．(结果精确到0.1米)‎ 第10题图 ‎11．(2015岳阳)如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED.从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°.已知ED＝35 cm，求椅子高AC约为多少？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈)‎ 第11题图 ‎12．(2016常德)南海是我国的南大门．如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只．问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)‎ 第12题图 答案 ‎1．C　【解析】根据已知条件，在Rt△ABO中，tan∠ABO＝，且BO＝30米， ∠ABO＝α，∴AO＝30tanα米．‎ ‎2．解：由题意得，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝550(米)，‎ ‎∴AB＝AC·tan∠ACB＝550≈952.6≈953(米)．(4分)‎ 答：他们测得的湘江宽度约为953米．(6分)‎ ‎3. 解：(1)根据题意可知，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠ABP＝90°＋30°＝120°，‎ ‎∴∠APB＝180°－30°－120°＝30°；(3分)‎ ‎(2)如解图，过点P作PC⊥AE于点C，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第3题解图 ‎∵∠APB＝30°＝∠PAB，‎ ‎∴AB＝BP，‎ ‎∵海监船以每小时50海里的速度航行1小时从A处到达B处，‎ ‎∴AB＝PB＝50(海里)，(5分)‎ ‎∵∠PBA＝120°，‎ ‎∴∠PBC＝60°，‎ ‎∴PC＝PB·sin∠PBC＝50· sin60°＝25(海里)，‎ ‎∵25＞25，‎ ‎∴海监船不在灯塔P的周围25海里之内，‎ 答：海监船继续向正东方向航行安全．(8分)‎ 第4题解图 ‎4．A　【解析】如解图，作AD⊥BC交BC于点D，AD＝120 m，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，则BD＝AD·tan∠BAD＝120·tan30°＝40 m，CD＝AD·tan∠CAD＝120·tan60°＝120 m，∴BC＝BD＋CD＝160 m.‎ ‎5．解：∵在Rt△ABD中，∠BDA＝45°，AB＝3 m，‎ ‎∴AD＝3 m，(2分)‎ 在Rt△ADC中，∠CDA＝60°，‎ ‎∵tan60°＝，‎ ‎∴CA＝3 m，(4分)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BC＝CA－AB＝(3－3) m，‎ 答：路况显示牌BC的高度为(3－3) m．(6分)‎ ‎6．解：(1)如解图，延长线段BE，与AC相交于点F，‎ 第6题解图 ‎∵AD∥BF，DE∥AC，‎ ‎∴四边形AFED是平行四边形，(2分)‎ ‎∴DE＝AF，∠BFC＝∠A＝37°，‎ 在Rt△BCF中，tan∠BFC＝tan37°＝，‎ ‎∴CF＝＝＝6.4(米)，(4分)‎ ‎∴DE＝AF＝AC－CF＝8－6.4＝1.6(米)，‎ 答：水平平台DE的长度为1.6米；(5分)‎ ‎(2)如解图，延长线段DE，交BC于点G，‎ ‎∵DG∥AC，‎ ‎∴∠BGM＝∠C＝90°，‎ ‎∴四边形MNCG是矩形，(7分)‎ ‎∴CG＝MN＝3(米)，‎ ‎∵BC＝4.8(米)，‎ ‎∴BG＝BC－CG＝1.8(米)，‎ ‎∵DG∥AC，‎ ‎∴△BEG∽△BFC，‎ ‎∴＝＝＝＝，(8分)‎ ‎∴＝，‎ ‎∵AD＝EF，‎ ‎∴＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答：两段楼梯AD与BE的长度之比为5∶3.(9分)‎ ‎7. 解：∵在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，‎ ‎∴BC＝CD＝2.3.‎ 在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，‎ 则AC＝BC·tan∠ABC＝2.3×tan70.5°≈6.5，‎ ‎∴AD＝AC－CD＝6.5－2.3＝4.2.‎ 答：像体AD的高度为4.2米．‎ ‎8. 解：(1)在Rt△ABC中，AB＝2，∠ABC＝45°，‎ ‎∴AC＝AB·sin∠ABC＝2×sin45°＝.‎ 答：舞台的高为 m；‎ ‎(2)在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，‎ ‎∴∠DAC＝60°，‎ ‎∴CD＝AC·tan∠DAC＝×tan60°＝.‎ ‎∵＜3，‎ ‎∴修新楼梯AD时底端D不会触到大树．‎ ‎9. 解：在Rt△OBC中，‎ ‎∵OC＝BC·tan∠OBC，‎ 且tan∠OBC＝tan30°＝，‎ ‎∴OC＝BC，‎ 在Rt△AOC中，OC＝OA·sin∠OAC，且sin∠OAC＝sin75°，‎ ‎∴OC＝40·sin75°，‎ ‎∴BC＝40·sin75°，‎ ‎∴BC＝＝40·sin75°·≈67.1 cm.‎ 答：该台灯照亮水平面的宽度BC约为67.1 cm.‎ ‎10. 解：如解图，依题意得：CD⊥ED，BF⊥ED，AE⊥ED，AG⊥CD(设垂足为G)，设CG为x米，可得CD＝CG＋GD＝(x＋1.5)米，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第10题解图 在Rt△CBG中，tan∠CBG＝，‎ ‎∵∠CBG＝60°，‎ ‎∴BG＝，‎ 在Rt△CAG中，‎ tan∠CAG＝，∠CAG＝30°，‎ ‎∴AG＝＝x，‎ ‎∴AB＝x－＝10.4，‎ 解得：x＝，‎ ‎∴CD＝＋1.5≈10.5(米)．‎ 答：来雁塔的高度约为10.5米．‎ ‎11. 解：∵AC⊥BE，AC⊥CD，‎ ‎∴BE∥CD，‎ ‎∵AC∥DE，‎ ‎∴四边形BCDE是矩形，‎ ‎∴BC＝DE，BE＝CD，∠ACD＝∠ABE＝90°.‎ 在Rt△ABE中，∠AEB＝53°，‎ ‎∴BE＝＝≈，‎ 在Rt△ACD中，∠ADC＝64°，‎ ‎∴CD＝＝≈，‎ ‎∴＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得AC＝105 cm.‎ 答：椅子高AC约为105 cm.‎ ‎12. 解：如解图，作AD⊥BC交CB延长线于D，‎ 第12题解图 在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，‎ cos∠BAD＝，‎ ‎∴AD＝AB·cos30°＝20×＝10(海里)，‎ 在Rt△ADC中，∠DAC＝75°，cos∠DAC＝，‎ ‎∴AC＝＝≈≈67(海里)．‎ 答：我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费