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疯狂专练9
立体几何
一、选择题（5分/题）
1．[2017·铜梁一中]右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
①//； ②与成角；
③与成异面直线且； ④与面所成角为．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故①错误；连接、，将平移到，则与成角，故②正确；同理与成角，故③错误；与面所成角不为，故④错误，综上可得只有②正确，故选A．
2．[2017·天水一中]设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
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【答案】A
【解析】①可以作为线面垂直的性质定理，①正确；②在时，有，又，得，②正确；③在时，可能相交，可能异面，也可能平行，③错误；④把门绕轴旋转，它在每一个位置都与地面垂直，但门所在的各个位置并不垂直，④错误，故选A．
3．[2017·福建联考]已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
【答案】C
【解析】如图，，，依题意，，，，．
A，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则∵，∴平面，从而，这与已知矛盾，排除A；
B，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，从而平面平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除B；
C，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，平面平面，取中点，连接，则，∴就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故C正确；
D，由上所述，可排除D；故选C．
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4．[2017·河西南师大附中]已知三棱锥中，，，面，，点、分别在、上，使面，且，则平面与平面所成的二面角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略．
5．[2017·台州中学]如图1，在等腰中，，，分别是上的点，，为的中点．将沿折起，得到如图2所示的四棱锥．若平面，则与平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过作与点，连接，可知即为与平面所成角．，，．，．在中，．即与平面所成角的正弦值为．故B正确．
6．[2017·江淮十校]如图，正四面体中，、分别是棱和的中点，则直线和所成的角的余弦值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，作底面，垂足为，为底面等边的中心，建立空间直角坐标系．不妨取，则：，
设点是线段的中点，则：，，
，．
利用空间向量求解余弦值有：．∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为．
7．[2017·邢台一中]已知三棱锥中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】四棱锥四个顶点都在底面边长为，高为的长方体的顶上，故棱锥的外接球也是长方体的外接球，球的半径，，故选A．
8．[2017·横峰中学]在等边中，在上运动，在上运动，，将沿折起使二面角的平面角为，当四棱锥体积最大时，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，则，
∴，
设的中点为，则，∵二面角的平面角为，
∴，
∴，∴当时，四棱锥体积取得最大值，
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∴，故选B．
9．[2017·安阳模拟]北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如果棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共层，上底由个物体组成，以下各层的长、宽一次各增加一个物体，最下层（即下底）由个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ）
A．83 B．84 C．85 D．86
【答案】C
【解析】从题设及三视图中所提供的图形信息和数据信息可知，代入公式，应选答案C．
10．[2017·嘉兴一中]正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【解析】以点为原点，、、分别为建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，设点坐标为，则，设的夹角为，所以 ，所以当时，取最大值．当时，取最小值．因为．故选D．
11．[2017南昌二中]如图，已知正方体的棱长为，动点在此正方体的表面上运动，且，记点的轨迹的长度为，则函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的轨迹为以为球心，为半径的球面与正方体的交线，当时，，此时由一次函数的单调性和图象可知轨迹为直线，排除C，D，当时，其轨迹长度为，排除A，故选B．
12．[2017·江西质检]如图所示，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，，设，
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，给出以下命题：
①四边形为平行四边形；
②若四边形面积，，则有最小值；
③若四棱锥的体积，，则为常函数；
④若多面体的体积，，则为单调函数．
⑤当时，四边形为正方形．
其中假命题的个数为（ ）
A．0 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】对①，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形，正确；
对②，因为平面，，所以平面，平面，所以，所以四边形面积，因为为定值，所以当分别为，的中点时有最小值，正确；
对③，，因为为定值，到平面的距离为定值，所以的体积为定值，即为常函数，正确；
对④，如图：过作平面平面，分别交，，于，
则多面体的体积，
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而，，
，所以，常数，错误；
对⑤，当时，四边形为正方形正确；故选D．
二、填空题（5分/题）
13．[2017·交大附中]如图，在直三棱柱中，，，已知与分别是棱和的中点，与分别是线段与上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的取值范围是__________．
【答案】
【解析】如图，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，，，∵，∴，
，
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当时，，
当时，（不包含端点，故不能取），，
∴长度取值为．
14．[2017·黄山模拟]已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上．以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立．则短轴长为，长轴为的椭球体的体积为_____．
【答案】
【解析】根据题意可得：椭半球体的体积等于圆柱截去圆锥所剩下部分的体积，所以椭半球体体积为，故椭球体的体积为．
15．[2017·名族中学]已知正四面体的棱长为，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，∵正四面体的棱长为，∴正方体的棱长为，可得外接球半径满足，解得，为棱的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，截面圆的面积取最小值，此时球心
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到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积最小值为．
16．[2017·鹰潭一中]在正四棱锥内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_________．
【答案】
【解析】如图，设球心为，设四棱锥的高，设四棱锥底面长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，正四棱锥的体积最小，，故答案为：．
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