2018年全国初中数学竞赛（初二组）初赛试题.docx

20182018年全国初中数学竞赛年全国初中数学竞赛（（初二组初二组））初赛试题参考答案和评分标准初赛试题参考答案和评分标准 一、1. D 2. D 3. B 4. B 5. C 6. A 二、7. 1 3 8. 8 9. 3 π2 + 1 10. 12° 三、11. 因为 m x - 1 + n x + 2 = m( )x + 2 + n( )x - 1 ( )x - 1 ( )x + 2 = ( )m + n x + 2m - n ( )x - 1 ( )x + 2 . …………………………………………… 5分 所以{m + n = 2，2m - n = 7. ……………………………………………………………………………………… 10分 解得{m = 3， n = -1. …………………………………………………………………………………………… 15分 所以m，n的值分别为3，-1. …………………………………………………………………………… 20分 四、12. （1）因为△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，所以△ABC ≌ △DBE，∠CBE = 60°. ………… 5分 所以BC = BE. 所以△BCE是等边三角形. …………………………………………………………………………… 10分 （2）因为△ABC ≌ △DBE， 所以AC = DE. 因为△BCE是等边三角形， 所以BC = CE，∠BCE = 60°. …………………………………………………………………………… 15分 因为∠DCB = 30°， 所以∠DCE = 90°. ……………………………………………………………………………………… 20分 所以在Rt△DCE中，DC2 + CE2 = DE2. 所以DC2 + BC2 = AC2， 即四边形ABCD是勾股四边形. ……………………………………………………………………… 25分 五、13. 问题背景：EF = BE＋FD. …………………………………………………………………………… 5分 探索延伸：EF = BE＋FD仍然成立. ………………………………………………………………… 10分 理由：延长FD到点G，使DG = BE，连接AG. 因为∠B＋∠ADC = 180°，∠ADG＋∠ADC = 180°， 所以∠B = ∠ADG. 又因为AB = AD，BE = DG， 所以△ABE ≌ △ADG. 所以AE = AG，∠BAE = ∠DAG. 又因为∠EAF = 1 2 ∠BAD， 所以∠FAG = ∠FAD + ∠DAG = ∠FAD + ∠BAE = ∠BAD - ∠EAF = ∠BAD - 1 2 ∠BAD = 1 2 ∠BAD. 所以∠EAF = ∠GAF. 又因为AF = AF，AE = AG， 所以△AEF ≌ △AGF. 所以EF = GF. 又因为FG = DG＋FD = BE＋FD， 所以EF = BE＋FD. …………………………………………………………………………………… 15分 实际应用：连接EF，延长AE与BF相交于点C. 在四边形AOBC中， 因为∠AOB = 30°＋90°＋20° = 140°，∠FOE = 70° = 1 2 ∠AOB，且 OA = OB，∠OAC＋∠OBC = 60°＋120° = 180°，符合探索延伸中的条件，所以结论EF = AE＋FB成立. ……………………………………… 20分 即EF = AE＋FB = 1.5 ×（60＋80）= 210（海里）. 答：此时两舰艇之间的距离为210海里. …………………………………………………………… 25分 第1页（共1页） 1