2017-2018学年安徽省安庆市太湖县九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一.选择题（四选一，每题4分，共40分）
1．（4分）若一个数的相反数是3，则这个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
2．（4分）已知（1﹣m）2+|n+2|=0，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．不能确定
3．（4分）若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．无法确定
4．（4分）梯形ABCD中，上底AD=8，下底BC=16，∠B=30°，∠C=60°，则腰长AB等于（ ）
A．4 B．3 C．5 D．
5．（4分）两圆的半径分别是R和r（R＞r），圆心距为d，若关于x的方程x2﹣2rx+（R﹣d）2=0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ）
A．一定内切 B．一定外切 C．相交 D．内切或外切
6．（4分）一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v．和凸透镜的焦距f满足关系式： +=，若u=12cm，f=3cm，则v的值为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
7．（4分）已知样本a，4，2，3，5的平均数为b，且a，b是方程x2﹣4x+3=0的两个根，则这个样本的方差是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm，若把△ABC绕直线AC旋转一周得到一个几何体，那么此几何体的侧面积为（ ）
A．24πcm2 B．18πcm2 C．12πcm2 D．6πcm2
9．（4分）如果只用一种正多边形进行镶嵌，那么在下面的正多边形中，不能镶嵌成一个平面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
10．（4分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程的接棒顺序有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
二.填空题（每空4分，共20分）
11．（4分）抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点坐标是 ．
12．（4分）有6个数，它们的平均数是12，再添加一个数5，则这7个数的平均数是 ．
13．（4分）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出第n个化合物的分子式 ．
14．（4分）一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为 ．
15．（4分）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ．
三．化简与计算（每小题8分，共16分）
16．（8分）解不等式组：
17．（8分）先化简，再求值：，其中x=2sin45°tan45°．
四.证明与计算（每小题8分，共16分）
18．（8分）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．
19．（8分）已知抛物线y=x2+x﹣．
（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
五.知识应用
20．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长．
21．（10分）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．
（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12.1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？
22．（12分）下表是某初三班20名学生某次数学测验的成绩统计表：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
5
x
y
2
（1）若这20名学生成绩的平均分数为82分，求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，设这20名学生成绩的众数为a，中位数为b，求a﹣b的值．
23．（12分）小刚家去年种植芒果收入扣除各项支出后结余5000元，今年又喜获丰收，比去年增收20%，而今年支出比去年减少5%，因此今年结余比去年多1750元，求小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少元？
24．（14分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），并且以x=1为对称轴．
（1）求此函数的解析式；
（2）作出二次函数的大致图象；
（3）在对称轴x=1上是否存在一点P，使△PAB中PA=PB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（四选一，每题4分，共40分）
1．（4分）若一个数的相反数是3，则这个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣3 D．3
【解答】解：设3的相反数为x．
则x+3=0，
x=﹣3．
故选：C．
2．（4分）已知（1﹣m）2+|n+2|=0，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．不能确定
【解答】解：依题意得：
1﹣m=0，n+2=0，
解得m=1，n=﹣2，
∴m+n=1﹣2=﹣1．
故选A．
3．（4分）若方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．无法确定
【解答】解：由方程x2+2x+m=0得x2=﹣2x﹣m，由方程x2+mx+2=0得x2=﹣mx﹣2．
则有﹣2x﹣m=﹣mx﹣2，即（m﹣2）x=m﹣2，
∵方程x2+2x+m=0和方程x2+mx+2=0有一个相等的实数根，
∴m≠2，
∴x=1．
把x=1代入方程x2+mx+2=0，
得方程1+m+2=0，从而解得m=﹣3．
故选：A．
4．（4分）梯形ABCD中，上底AD=8，下底BC=16，∠B=30°，∠C=60°，则腰长AB等于（ ）
A．4 B．3 C．5 D．
【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，
∵AD=8，BC=16，
∴BE+FC=8，
∵∠B=30°，∠C=60°，设FC=x，
∴BE=8﹣x，
则DF=AE=x，
故tan30°==，
解得：x=2，
则BE=6，AE=2，
故AB=4．
故选：A．
5．（4分）两圆的半径分别是R和r（R＞r），圆心距为d，若关于x的方程x2﹣2rx+（R﹣d）2=0有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（ ）
A．一定内切 B．一定外切 C．相交 D．内切或外切
【解答】解：因为方程有两个相等的实数根，所以判别式等于0．
则：△=（2r）2﹣4（R﹣d）2=0，
[2r﹣2（R﹣d）][2r+2（R﹣d）]=0
得到：d=R+r或d=R﹣r．
因此两圆外切或者内切．
故选D．
6．（4分）一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v．和凸透镜的焦距f满足关系式： +=，若u=12cm，f=3cm，则v的值为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
【解答】解：∵+=，u=12cm，f=3cm，
∴=+，
解得v=4cm．
故选C．
7．（4分）已知样本a，4，2，3，5的平均数为b，且a，b是方程x2﹣4x+3=0的两个根，则这个样本的方差是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵方程x2﹣4x+3=0的两个根是x1=1，x2=3，
a、b是方程x2﹣4x+3=0的两个根，
样本中其他数据都大于1，
∴a=1，b=3．
则S2= [（1﹣3）2+（4﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（3﹣3）2]=2．
故选B．
8．（4分）在△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm，若把△ABC绕直线AC旋转一周得到一个几何体，那么此几何体的侧面积为（ ）
A．24πcm2 B．18πcm2 C．12πcm2 D．6πcm2
【解答】解：几何体的侧面积=•2π•3•4=12π（cm2）．
故选C．
9．（4分）如果只用一种正多边形进行镶嵌，那么在下面的正多边形中，不能镶嵌成一个平面的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【解答】解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
正六边形的每个内角是120°，3个能密铺．
故选C．
10．（4分）甲、乙、丙、丁四名运动员参加4×100米接力赛，甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动员，那么这四名运动员在比赛过程的接棒顺序有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
【解答】解：当甲作第一棒时，接棒顺序有：
①甲、乙、丙、丁；②甲、乙、丁、丙；
③甲、丙、乙、丁；③甲、丙、丁、乙；
⑤甲、丁、乙、丙；⑥甲、丁、丙、乙．
因此共有6种接棒顺序．同理当甲做第四棒时，也有6种接棒顺序．
因此共有6+6=12种接棒顺序．故选D．
二.填空题（每空4分，共20分）
11．（4分）抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点坐标是 （1，﹣4） ．
【解答】解：∵原抛物线可化为：y=（x﹣1）2﹣4，
∴其顶点坐标为（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）．
12．（4分）有6个数，它们的平均数是12，再添加一个数5，则这7个数的平均数是 11 ．
【解答】解：有6个数，它们的平均数是12，
那么这6个数的和为6×12=72．
再添加一个数5，
则这7个数的平均数是=11．
故答案为：11．
13．（4分）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出第n个化合物的分子式 CnH2n+2 ．
【解答】解：第1个化合物的分子式CH4，以后每增加一个C，需增加两个H，故第n个化合物即有n个C的化合物的分子式为CnH2n+2．
故第n个化合物的分子式为CnH2n+2．
14．（4分）一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为 或 ．
【解答】解：在y=kx+3中令x=0，得y=3，
则函数与y轴的交点坐标是：（0，3）；
设函数与x轴的交点坐标是（a，0），
根据勾股定理得到a2+32=25，
解得a=±4；
当a=4时，把（4，0）代入y=kx+3，得k=﹣；
当a=﹣4时，把（﹣4，0）代入y=kx+3，得k=．
故k的值为或．
15．（4分）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 10：21 ．
【解答】解：电子表的实际时刻是10：21，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：21．
三．化简与计算（每小题8分，共16分）
16．（8分）解不等式组：
【解答】解：（1）移项合并同类项得：4x＞4
解得：x＞1
（2）去括号得：2x+2﹣＜x
解得：x＜4
所以1＜x＜4．
17．（8分）先化简，再求值：，其中x=2sin45°tan45°．
【解答】解：原式=
=．
当x=2××1=2时，
原式=﹣=4．
四.证明与计算（每小题8分，共16分）
18．（8分）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．
【解答】证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE为△ACB的中位线．
∴DE∥BC．
∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，
∴CE=AB=AE．
∴∠A=∠ACE．
又∵∠CDF=∠A，
∴∠CDF=∠ACE．
∴DF∥CE．
又∵DE∥BC，
∴四边形DECF为平行四边形．
19．（8分）已知抛物线y=x2+x﹣．
（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【解答】解：（1）∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
对称轴是直线x=﹣1；
（2）当y=0时， x2+x﹣=0，
解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，
AB=|x1﹣x2|=．
五.知识应用
20．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙
O的直径，D是AB延长线上一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长．
【解答】（1）证明：连接OC；
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠BAC；
又在圆中OA=OC，
∴∠AC0=∠BAC，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE（内错角相等，两直线平行）；
则由AE⊥DC知OC⊥DC，
即DC是⊙O的切线．
（2）解：∵∠D=∠D，∠E=∠OCD=90°，
∴△DCO∽△DEA，
∴=，
∴=，
∴=，
∴BD=2；
∵Rt△EAC∽Rt△CAB，
∴，
∴
∴AC2=，
由勾股定理得：
BC=．
21．（10分）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售．
（1）试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z与周次x次之间的关系为Z=﹣0.125（x﹣8）2+12.1≤x≤16，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？
【解答】解：（1）依题意得，可建立的函数关系式为：
∴y=；
即y=.4分
（2）设利润为W，则W=售价﹣进价
故W=，
化简得W=
①当W=时，∵当x≥0，函数W随着x增大而增大，∵1≤x＜6
∴当x=5时，W有最大值，最大值=17.125
②当W=时，∵W=，当x≥8时，函数W随x增大而增大，
∴在x=11时，函数有最大值为19
③当W=时，∵W=，
∵12≤x≤16，当x≤16时，函数W随x增大而减小，
∴在x=12时，函数有最大值为18
综上所述，当x=11时，函数有最大值为19．
22．（12分）下表是某初三班20名学生某次数学测验的成绩统计表：
成绩（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
1
5
x
y
2
（1）若这20名学生成绩的平均分数为82分，求x和y的值．
（2）在（1）的条件下，设这20名学生成绩的众数为a，中位数为b，求a﹣b的值．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得：，
即x的值为5，y的值为7；
（2）由（1）得，90分的人数最多，故众数为90，
中位数为：80，
即a=90，b=80，
则a﹣b=90﹣80=10．
23．（12分）小刚家去年种植芒果收入扣除各项支出后结余5000元，今年又喜获丰收，比去年增收20%，而今年支出比去年减少5%，因此今年结余比去年多1750元，求小刚家今年种植芒果的收入和支出各是多少元？
【解答】解：设去年收入x元，支出y元．
由题意得：，
解得：，
则今年种植芒果的收入为9600元，支出是2850元，
答：今年收入9600元，支出2850元．
24．（14分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（2，﹣3），并且以x=1为对称轴．
（1）求此函数的解析式；
（2）作出二次函数的大致图象；
（3）在对称轴x=1上是否存在一点P，使△PAB中PA=PB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）把点A（3，0），B（2，﹣3）代入y=ax2+bx+c依题意，
整理得，
解得，
∴解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）二次函数图象如右；
（3）存在．
作AB的垂直平分线交对称轴x=1于点P，
连接PA、PB，则PA=PB，
设P点坐标为（1，m），则22+m2=（﹣3﹣m）2+1
解得m=﹣1，
∴点P的坐标为（1，﹣1）．
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