2018高考数学(理)第一次模拟试卷(揭阳市含答案)
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资料简介
莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 绝密★启用前 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学(理科)‎ 本试卷共4页,满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项: ‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.‎ ‎4.考试结束,将本试题和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)已知集合, ,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2)已知复数,则 ‎(A)4 (B)6 (C)8 (D)10‎ ‎(3)已知向量,,若,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)一个圆柱形水桶,底面圆半径与高都为2(桶底和桶壁厚度不计),装满水后,发现桶中有一个随处悬浮的颗粒,用一个半径为1的半球形水瓢(瓢壁厚度不计)从水桶中舀满水,则该颗粒被捞出的概率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)已知,实数满足 ,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)与 ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似,有这样一个问题:“四百四十一里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走441里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为 ‎(A)3.5里 (B)7里 (C)14里 (D)28里 ‎(7)函数的部分图象大致为‎-1‎ ‎1‎ x y ‎-1‎ ‎1‎ x y ‎-1‎ ‎1‎ x y ‎-1‎ ‎1‎ x y ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(8)已知两条直线与被圆截得的线段长均为,则圆的面积为 正视图 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎2‎ 图1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(9)某几何体三视图如图1示,则此几何体的表面积为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(10)已知F1、F2是双曲线C的两个焦点,P是C上一点,线段 的垂直平分线经过点F2,且,则此双曲线C的 离心率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(11)某地铁站有A、B、C、D、E五个自动检票口,有4人一同进站,恰好2人通过同一检票口检票进站,另2人各自选择不同的检票口检票进站,则不同的检票进站方式的种数为 ‎(A)60 (B)180 (C)360 (D)720‎ ‎(12)已知是函数的极值点,且满足,则符合要求的的个数为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~‎ ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(23)题为选考题,考生根据要求做答.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上.‎ ‎(13)图2是一个算法流程图,若输入x的值为,则输出的 y的值是 .‎ ‎(14)已知实数满足约束条件,则的取值范围 为是 .‎ ‎(15)已知数列满足,设数列的 前n项和为,则 =___________. ‎ ‎(16)已知抛物线的焦点为,抛物线上的动点(不在原点)在轴上的投影为,点关于直线的对称点为,点关于直线的对称点为,当最小时,三角形的面积为 . ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知, ,.‎ ‎(Ⅰ)求角A的值;‎ ‎(Ⅱ)求△ABC的面积.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 如图3,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△ABC和 ‎△PAC都是正三角形,,E、F分别是AC、BC的中点,且 PD⊥AB于D. ‎ ‎(Ⅰ)证明:平面PEF⊥平面PED;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的正弦值.‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ ‎ 某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 100元,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个250元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得图4‎ 的条形图:记x表示1台机器在三年使用期 内需更换的易损零件数,y表示1台机器在 图4‎ ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 购买易损零件上所需的费用(单位:元),‎ 表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎(I)若=19,求y与x的函数解析式;‎ ‎(II)以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率.‎ ‎(ⅰ)若要求“需更换的易损零件数不大于”的概率不小于0.5,求的最小值;‎ ‎(ⅱ)假设取19或20,分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望,以此 作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 已知A是椭圆上的动点,点,点与点关于原点对称.‎ ‎(I)求△PAC面积的最大值;‎ ‎(II)若射线、分别与椭圆T交于点、,且,,证明:‎ 为定值.‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知,函数. ‎ ‎(I)讨论的单调性;‎ ‎(II)已知当时,函数有两个零点和(),求证:.‎ 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.‎ ‎(22)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方 程为(m为参数),当k变化时,设 l1与l2的交点的轨迹为曲线C. ‎ ‎(I)以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(II)设曲线C上的点A的极角为,射线OA与直线 的交点为B,且,求的值.‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修45:不等式选讲 已知函数,a为实数.‎ ‎(I)当时,求不等式的解集; ‎ ‎(II)求的最小值.‎ 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分说明 ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.‎ 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.‎ 四、只给整数分数. ‎ 一、选择题 题序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B A ‎ A B C A B D C B 解析: (9)由三视图知,该几何体是一棱长为2的正方体和一底面半径为、高为1的圆柱的组合体,其表面积.‎ ‎(10)不妨设点P在第一象限,依题意有,,又由得.‎ ‎(11);‎ ‎(12)法1:由是函数的极值点可得,即,故因,当时,,成立;当时,;‎ 当时,,;综上知,满足题意的时,共个.‎ ‎【法:2:由题意知,得();由图象得的解为或,即或,即或,因()故无解,由得时,共个.】‎ 二、填空题 题序 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎2‎ 解析(16)显然,即的最小值为,仅当、、 ‎ ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 共线且点在、之间时取等号,此时,即直线 的斜率为(取也可),联立,可得,故.‎ 三、解答题 ‎(17)解:(Ⅰ)由已知及,‎ 得,-------------------------------------------------------------------------------2分 即,得-----------------------------------------------------------4分 又,∴,‎ 即;-----------------------------------------------------------------------------------------------6分 ‎(Ⅱ)由已知及正弦定理得,--------------------------------------------------------------7分 由余弦定理,‎ 得, -----------------------------------------------------------9分 解得,-------------------------------------------------------------------------------------------10分 ‎∴△ABC的面积为.-----------------------------------------------------------12分 ‎(18)解:(Ⅰ)∵E、F分别是AC、BC的中点,‎ ‎∴EF//AB,----------------------------------------------------------------------------------------------------1分 在正三角形PAC中,PE⊥AC,‎ 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,‎ ‎∴PE⊥平面ABC,----------------------------------------------------------------------------------------3分 ‎∴PE⊥AB,‎ 又PD⊥AB,PE∩PD=P,‎ ‎∴AB⊥平面PED, --------------------------------------------------------------------------------------5分 又EF//AB,∴EF⊥平面PED,‎ 又平面PEF,∴平面PEF⊥平面PED.------------------------------------------------------6分 ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎(Ⅱ)解法1:∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BE⊥AC,‎ ‎∴BE⊥平面PAC,----------------------------------------------------------------------------------------7分 以点E为坐标原点,EA所在的直线为x轴,EB所在 的直线为y轴,建立空间直角坐标系如图示,‎ 则,,--------8分 ‎,,‎ 设为平面PAB的一个法向量,‎ 则由得 ‎,令,得,即------------------------------10分 设二面角的大小为,则,‎ ‎,‎ 即二面角的正弦值为. ---------------------------------------------------------12分】‎ ‎【解法2:由(Ⅰ)知EF⊥平面PED,∴EF⊥ED,‎ ‎ 以点E为坐标原点,ED所在的直线为x轴,EF所在的直线为y轴,‎ 建立空间直角坐标系如图示,‎ ‎∵AE=1,∠EAD=60°,∴AD=,,,‎ 又,∴,,‎ 则,, -------------------------------------8分 ‎∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BE⊥AC,‎ ‎∴BE⊥平面PAE,故为平面PAE的法向量,----------------------------------9分 ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 设为平面PAD的一个法向量,则由得 ‎,令得,故---------------------------------10分 设二面角的大小为,则,‎ ‎,‎ 即二面角的正弦值为. ---------------------------------------------------------12分】‎ ‎【解法3:二面角即二面角C-PA-B,‎ ‎ 在平面PAB内过点B作于G,连结GE,‎ ‎ ∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BE⊥AC,‎ ‎∴BE⊥平面PAC,∴,‎ 又,,‎ ‎∴平面BEG,∴PA⊥GE,‎ ‎∴∠EGB为二面角C-PA-B的平面角,----------------------------8分 ‎∵,,‎ ‎,,--------------------------------11分 即二面角的正弦值为. --------------------------------------------------------12分】‎ ‎(19)解:(I)依题意得------------------------------------------3分 ‎(Ⅱ)(ⅰ)由条形图知,,,,,‎ ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 故,------------------------------------5分 ‎,--------------------------------------6分 由上可知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46,‎ 不大于19的概率为0.7,故的最小值为19.-----------------------------------------------------------7分 ‎(ⅱ)n取19或20,即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件,设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为元和元,‎ 则的可能取值为:1900,2150,2400.‎ 且,,,‎ 故 (元) -----------------------------------9分 的可能取值为:2000,2250.‎ 且,,‎ 故(元) ------------------------------------------------11分 ‎,所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件. --------------------------------12分 ‎(20)解:(Ⅰ)设,依题意得点,------------------------------------------------1分 ‎ 则----------------------------------------------------------------------2分 ‎∵点A在椭圆上,∴,------------------------------------------------------3分 ‎∴(当且仅当时等号成立)‎ ‎∴△PAC面积的最大值为1. -----------------------------------------------------------------------------4分 ‎(Ⅱ)证法1:当直线AP的斜率存在时,设其方程为,‎ 由,消去,得,----------------------------------------5分 ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 设,由韦达定理,得,‎ 而由,得,故,,‎ 代入①、②,得 两式相除,得,代入④,整理得;-----------------7分 对于射线,同样的方法可得,‎ 故是方程的两个根, ------------------------------------------------9分 由韦达定理,; --------------------------------------------------------------------------10分 当直线AP的斜率不存在时,点A为椭圆T的上顶点或下顶点,当点A为(0,1)时,则B、C重合于点(0.-1),D、A重合,‎ 由,,得这时;--------------------------11分 若点A为椭圆T的下顶点(0,-1),同理可得;‎ 综上可知为定值,该值为.-------------------------------------------------------------------12分 ‎【证法2:当直线AP的斜率存在时,这时点A不在y轴上,即x1≠0,‎ 设其方程为由,消去,得,------------5分 设,由韦达定理,得,----------------------------------------------------6分 ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 又,代入上式得,----------------------------------------------7分 由,得,故,‎ 得,-----------------------------------------------------------------------8分 对于射线,同样的方法可得,----------9分 ‎∴.-------------------------------------------------------------------10分 当直线AP的斜率不存在时,点A为椭圆T的上顶点或下顶点,当点A为(0,1)时,则B、C重合于点(0.-1),D、A重合,‎ 由,,得这时;---------------------------11分 若点A为椭圆T的下顶点(0,-1),同理可得;‎ 综上可知为定值,该值为.--------------------------------------------------------------12分】‎ ‎(21)解:(Ⅰ) ,,‎ ‎①若,显然恒成立,在上单调递增;-----------------------2分 ‎②若,当时,,当时,,‎ 故在上单调递减,在上单调递增;----------------------------------------4分 ‎③若,当时,,‎ 当时,由,得,由,得,‎ ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 故在上单调递减,在上单调递增;-----------------6分 ‎(Ⅱ)证法1:∵,故,结合的单调性知,‎ 的两个零点和满足以及,且,----7分 ‎∴,,于是,-------------------------8分 令,()‎ 则,----------------------------9分 记,,‎ 则,∴在上单调递减,,故,‎ 即函数 在上单调递减,∴,‎ ‎∴,----------------------------------------------------------------------------------------11分 又在上单调递减,‎ ‎∴---------------------------------------------------------------------------------12分 ‎【证法2:∵,故,结合的单调性知,‎ 的两个零点和满足以及,且,----7分 要证明,只需证,即证,--------------------------8分 注意到、,且在上单调递减,‎ 故只需证,即证,--------------------------------------9分 ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 而,‎ 记,,,‎ 记,,则,‎ 故即单调递减,,-------------------------------------11分 故单调递减,,‎ 于是成立,原题得证.----------------------------------------------------------12分】‎ 选做题:‎ ‎(22)解:(Ⅰ)直线l1的普通方程为,----------------------------------------------1分 直线l2的普通方程为,-----------------------------------------------------------------------2分 联立两方程消去k,得,即曲线C的普通方程为,--------3分 由得曲线C的极坐标方程为;---------------------4分 化简得-------------------------------------------------------------------------------5分 ‎(Ⅱ)把代入,得,‎ ‎∴,得, --------------------------------------------------------------------------7分 由已知得,------------------------------------------------------------------------------8分 把,代入方程l3得,‎ 又,∴---------------------------------------------------------------------9分 ‎∴,.--------------------------------------------------------------------------------10分 ‎(23)解:(Ⅰ)当时,不等式即,-------------------1分 ‎①当时,得,无解;------------------------------------------------------------2分 ‎②当时,得,‎ ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 解得,得;-------------------------------------------------------------------------3分 ‎③当时,得,无解;---------------------------------------------------------------4分 综上知,不等式的解集为.-----------------------------------------------------5分 ‎(Ⅱ),--------------------------------------------------6分 ‎①当或时,,-----------------------------------------------8分 ‎②当时,,-------------------------------------------------9分 综上知,的最小值为2.-----------------------------------------------------------10分 ‎ ‎ ‎·14·莲山课件http://www.5ykj.com/‎

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