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揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(理科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
（1）已知集合， ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数，则
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
（3）已知向量，，若，则
（A） （B） （C） （D）
（4）一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知，实数满足 ，则
（A） （B） （C） （D）
（6）与
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中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为
（A）3.5里 （B）7里 （C）14里 （D）28里
（7）函数的部分图象大致为-1
1
x
y
-1
1
x
y
-1
1
x
y
-1
1
x
y
（A） （B） （C） （D）
（8）已知两条直线与被圆截得的线段长均为，则圆的面积为
正视图
侧视图
俯视图
2
2
图1
2
1
2
1
（A） （B） （C） （D）
（9）某几何体三视图如图1示，则此几何体的表面积为
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，线段
的垂直平分线经过点F2，且，则此双曲线C的
离心率为
（A） （B） （C） （D）
（11）某地铁站有A、B、C、D、E五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口检票进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为
（A）60 （B）180 （C）360 （D）720
（12）已知是函数的极值点，且满足，则符合要求的的个数为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~
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第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题
卡相应的横线上．
（13）图2是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出的
y的值是 .
（14）已知实数满足约束条件，则的取值范围
为是 ．
（15）已知数列满足，设数列的
前n项和为，则 =___________.
（16）已知抛物线的焦点为，抛物线上的动点（不在原点）在轴上的投影为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，当最小时，三角形的面积为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知， ，.
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
（18）（本小题满分12分）
如图3，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC和
△PAC都是正三角形，，E、F分别是AC、BC的中点，且
PD⊥AB于D.
（Ⅰ）证明：平面PEF⊥平面PED；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 100元，在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个250元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得图4
的条形图：记x表示1台机器在三年使用期
内需更换的易损零件数，y表示1台机器在 图4
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购买易损零件上所需的费用（单位：元）,
表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若=19，求y与x的函数解析式；
（II）以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率．
（ⅰ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的概率不小于0.5，求的最小值；
（ⅱ）假设取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此
作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
（20）（本小题满分12分）
已知A是椭圆上的动点，点，点与点关于原点对称.
（I）求△PAC面积的最大值；
（II）若射线、分别与椭圆T交于点、，且，，证明：
为定值．
（21）（本小题满分12分）
已知，函数.
（I）讨论的单调性；
（II）已知当时，函数有两个零点和（），求证：．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方
程为（m为参数），当k变化时，设 l1与l2的交点的轨迹为曲线C．
（I）以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（II）设曲线C上的点A的极角为，射线OA与直线 的交点为B，且，求的值．
（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲
已知函数，a为实数．
（I）当时，求不等式的解集；
（II）求的最小值．
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数学(理科)参考答案及评分说明
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一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
A
A
B
C
A
B
D
C
B
解析: （9）由三视图知，该几何体是一棱长为2的正方体和一底面半径为、高为1的圆柱的组合体，其表面积.
（10）不妨设点P在第一象限，依题意有，，又由得.
（11）；
（12）法1：由是函数的极值点可得，即，故因，当时，，成立；当时，；
当时，，；综上知，满足题意的时，共个．
【法:2：由题意知，得()；由图象得的解为或，即或，即或，因()故无解，由得时，共个．】
二、填空题
题序
13
14
15
16
答案
2
解析（16）显然，即的最小值为，仅当、、
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共线且点在、之间时取等号，此时，即直线 的斜率为（取也可），联立，可得，故．
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）由已知及，
得，-------------------------------------------------------------------------------2分
即，得-----------------------------------------------------------4分
又，∴，
即；-----------------------------------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）由已知及正弦定理得，--------------------------------------------------------------7分
由余弦定理，
得， -----------------------------------------------------------9分
解得，-------------------------------------------------------------------------------------------10分
∴△ABC的面积为．-----------------------------------------------------------12分
（18）解：（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF//AB，----------------------------------------------------------------------------------------------------1分
在正三角形PAC中，PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PE⊥平面ABC，----------------------------------------------------------------------------------------3分
∴PE⊥AB，
又PD⊥AB，PE∩PD=P，
∴AB⊥平面PED， --------------------------------------------------------------------------------------5分
又EF//AB，∴EF⊥平面PED，
又平面PEF，∴平面PEF⊥平面PED.------------------------------------------------------6分
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（Ⅱ）解法1：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面PAC，----------------------------------------------------------------------------------------7分
以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在
的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，
则,,--------8分
,,
设为平面PAB的一个法向量，
则由得
，令，得，即------------------------------10分
设二面角的大小为，则,
，
即二面角的正弦值为. ---------------------------------------------------------12分】
【解法2：由（Ⅰ）知EF⊥平面PED，∴EF⊥ED，
以点E为坐标原点，ED所在的直线为x轴，EF所在的直线为y轴，
建立空间直角坐标系如图示，
∵AE=1，∠EAD=60°，∴AD=,,,
又,∴,,
则,, -------------------------------------8分
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面PAE，故为平面PAE的法向量，----------------------------------9分
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设为平面PAD的一个法向量，则由得
，令得，故---------------------------------10分
设二面角的大小为，则,
，
即二面角的正弦值为. ---------------------------------------------------------12分】
【解法3：二面角即二面角C-PA-B，
在平面PAB内过点B作于G，连结GE,
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面PAC，∴,
又，,
∴平面BEG，∴PA⊥GE，
∴∠EGB为二面角C-PA-B的平面角，----------------------------8分
∵,，
，，--------------------------------11分
即二面角的正弦值为. --------------------------------------------------------12分】
（19）解：（I）依题意得------------------------------------------3分
（Ⅱ）（ⅰ）由条形图知,，，，，
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故，------------------------------------5分
，--------------------------------------6分
由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46,
不大于19的概率为0.7,故的最小值为19.-----------------------------------------------------------7分
（ⅱ）n取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为元和元,
则的可能取值为：1900,2150,2400.
且,,，
故 (元) -----------------------------------9分
的可能取值为：2000,2250.
且，，
故（元） ------------------------------------------------11分
，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件. --------------------------------12分
（20）解：（Ⅰ）设，依题意得点,------------------------------------------------1分
则----------------------------------------------------------------------2分
∵点A在椭圆上，∴，------------------------------------------------------3分
∴（当且仅当时等号成立）
∴△PAC面积的最大值为1. -----------------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为，
由，消去，得，----------------------------------------5分
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设，由韦达定理，得，
而由，得，故，，
代入①、②，得
两式相除，得，代入④，整理得；-----------------7分
对于射线，同样的方法可得，
故是方程的两个根， ------------------------------------------------9分
由韦达定理，； --------------------------------------------------------------------------10分
当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时，则B、C重合于点（0.-1），D、A重合，
由，，得这时；--------------------------11分
若点A为椭圆T的下顶点（0,-1），同理可得；
综上可知为定值，该值为.-------------------------------------------------------------------12分
【证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x1≠0，
设其方程为由，消去，得，------------5分
设，由韦达定理，得，----------------------------------------------------6分
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又，代入上式得，----------------------------------------------7分
由，得，故，
得，-----------------------------------------------------------------------8分
对于射线，同样的方法可得，----------9分
∴．-------------------------------------------------------------------10分
当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时，则B、C重合于点（0.-1），D、A重合，
由，，得这时；---------------------------11分
若点A为椭圆T的下顶点（0,-1），同理可得；
综上可知为定值，该值为.--------------------------------------------------------------12分】
（21）解：（Ⅰ） ，，
①若，显然恒成立，在上单调递增；-----------------------2分
②若，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；----------------------------------------4分
③若，当时，，
当时，由，得，由，得，
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故在上单调递减，在上单调递增；-----------------6分
（Ⅱ）证法1：∵，故，结合的单调性知，
的两个零点和满足以及，且，----7分
∴，，于是，-------------------------8分
令，（）
则，----------------------------9分
记，，
则，∴在上单调递减，，故，
即函数 在上单调递减，∴，
∴，----------------------------------------------------------------------------------------11分
又在上单调递减，
∴---------------------------------------------------------------------------------12分
【证法2：∵，故，结合的单调性知，
的两个零点和满足以及，且，----7分
要证明，只需证，即证，--------------------------8分
注意到、，且在上单调递减，
故只需证，即证，--------------------------------------9分
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而，
记，，，
记，，则，
故即单调递减，，-------------------------------------11分
故单调递减，，
于是成立，原题得证．----------------------------------------------------------12分】
选做题：
（22）解：（Ⅰ）直线l1的普通方程为，----------------------------------------------1分
直线l2的普通方程为，-----------------------------------------------------------------------2分
联立两方程消去k，得，即曲线C的普通方程为，--------3分
由得曲线C的极坐标方程为；---------------------4分
化简得-------------------------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）把代入，得，
∴，得， --------------------------------------------------------------------------7分
由已知得，------------------------------------------------------------------------------8分
把，代入方程l3得，
又，∴---------------------------------------------------------------------9分
∴，．--------------------------------------------------------------------------------10分
（23）解：（Ⅰ）当时，不等式即，-------------------1分
①当时，得，无解；------------------------------------------------------------2分
②当时，得，
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解得，得；-------------------------------------------------------------------------3分
③当时，得，无解；---------------------------------------------------------------4分
综上知，不等式的解集为.-----------------------------------------------------5分
（Ⅱ），--------------------------------------------------6分
①当或时，，-----------------------------------------------8分
②当时，，-------------------------------------------------9分
综上知，的最小值为2．-----------------------------------------------------------10分
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