长沙9年中考 第26课时　与圆有关的计算（Word版）.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第六单元 圆 第25课时　点、直线与圆的位置关系 长沙9年中考　(2009～2017)‎ 命题点 切线的相关证明与计算 类型一　切线的性质 1. ‎(2011长沙18题3分)如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P＝20°，则∠A＝________°.‎ 第1题图 ‎2. (2010长沙24题8分)已知，AB是⊙O的弦，D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C.‎ ‎(1)求证：AD＝DC；‎ ‎(2)过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝EC，求sinC.‎ ‎ ‎ 第2题图 ‎3. (2009长沙24题8分)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F.‎ ‎(1)求证：BD＝BF；‎ ‎(2)若BC＝6，AD＝4，求⊙O的面积．‎ ‎ ‎ 第3题图 ‎4. (2014长沙24题9分)如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.‎ ‎(1)求证：DE⊥AC；‎ ‎(2)若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．‎ ‎ ‎ 第4题图 ‎5. (2017长沙23题9分)如图，AB与⊙O相切于点C，OA、OB分别交⊙O于点D、E，＝.‎ ‎(1)求证：OA＝OB；‎ ‎(2)已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．‎ ‎ ‎ 第5题图 类型二　切线的判定 ‎6. (2015长沙24题9分)如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(，0)与点B(0，－)，点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.‎ ‎(1)求⊙M的半径；‎ ‎(2)求证：BD平分∠ABO；‎ ‎(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．‎ ‎ ‎ 第6题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7. (2013长沙22题8分)如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC ‎(1)求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．‎ 第7题图 ‎8. (2016长沙24题9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB、DC、DF.‎ ‎(1)求∠CDE的度数；‎ ‎(2)求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．‎ 第8题图 ‎9．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．‎ ‎(1)求证：AB是⊙O的直径；‎ ‎(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；‎ ‎(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．‎ 第9题图 ‎10．(2016郴州)如图，OA，OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.‎ ‎(1)求证：直线CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3 cm，求的长度．(结果保留π)‎ 第10题图 ‎11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC中点，⊙O过A、B、D，CB延长线交⊙O于E.‎ ‎(1)求证：AE＝CE；‎ ‎(2)EF与⊙O相切于E，交AC延长线于F，若CD＝CF＝2，求⊙O的直径；‎ ‎(3)若CF＝CD，求sin∠CAB.‎ 第11题图 ‎12．(2017娄底)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.‎ ‎(1)若∠BCD＝36°，BC＝10，求的长；‎ ‎(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(3)求证：2CE2＝AB·EF.‎ 第12题图 ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案 ‎1. 35　【解析】∵PC是⊙O的切线，OC是经过切点的半径，∴OC⊥PC，又∵∠P＝20°，∴∠COP＝70°.∵∠COP是△AOC的一个外角，由外角的性质以及OC＝OA，得∠A＝∠COP＝35°.‎ ‎2．(1)证明：如解图，连接BD，‎ ‎ ‎ ‎∵D是的中点，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠A＝∠ABD，‎ ‎∴AD＝BD.(2分)‎ ‎∵AB⊥BC，‎ ‎∴∠ABC＝90°，∠A＋∠C＝90°，∠ABD＋∠DBC＝90°，‎ ‎∴∠C＝∠DBC，‎ ‎∴BD＝DC，‎ ‎∴AD＝DC；……(4分)‎ ‎(2)解：如解图，连接OD交AB于点F，‎ ‎∵DE为⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥DE.……(5分)‎ ‎∵＝，OD过圆心，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ 又∵AB⊥BC，‎ ‎∴四边形FBED为矩形，‎ ‎∴∠DEC＝90°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵DE＝EC，‎ ‎∴∠C＝45°，……(7分)‎ ‎∴sinC＝.……(8分)‎ 3． ‎(1)证明：如解图，连接OE，‎ ‎∵AC是⊙O的切线，‎ ‎∴OE⊥AC，‎ 又∵∠ACB＝90°，‎ 即BC⊥AC，‎ ‎∴OE∥BC，‎ ‎∴∠OED＝∠F.(2分)‎ ‎∵OD＝OE，‎ ‎∴∠ODE＝∠OED，‎ ‎∴∠ODE＝∠F，……(3分)‎ ‎∴BD＝BF；……(4分)‎ ‎(2)解：设⊙O的半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴r2－r－12＝0，解得r1＝4，r2＝－3(舍)，……(7分)‎ ‎∴S⊙O＝πr2＝16π.……(8分)‎ ‎ ‎ ‎4. (1)证明：如解图，连接OD ，‎ ‎∵DE 是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥DE，(1分)‎ 又∵点O是AB的中点，点D是BC的中点，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴OD 是△ABC的中位线，……(2分)‎ ‎∴OD∥AC，……(3分)‎ ‎∴DE⊥AC；……(4分)‎ ‎(2)解：如解图，连接AD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ 又∵D是BC的中点，‎ ‎∴BD＝DC.‎ ‎∵AD＝AD，‎ ‎∴Rt△ADB≌Rt△ADC(SAS)，‎ ‎∴AB＝AC.……(5分)‎ ‎∵AB＝3DE，‎ ‎∴AC＝3DE.‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴∠DEC＝∠DEA＝90°，‎ ‎∵∠CAD＋∠C＝∠EDC＋∠C＝90°，‎ ‎∴∠CAD＝∠EDC，‎ ‎∴△ADE∽△DCE，‎ ‎∴＝，即DE2＝AE·EC.……(6分)‎ 设DE＝nEC，则AC＝3nEC，AE＝AC－EC＝(3n－1)EC，‎ ‎∴(nEC)2＝(3n－1)EC·EC，……(7分)‎ 即n2－3n＋1＝0，‎ 解得n＝，‎ ‎∵与都是正数，‎ ‎∴均符合题意，……(8分)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵在Rt△DEC中，tan∠ACB＝＝n，‎ ‎∴tan∠ACB＝n＝.……(9分)‎ ‎5. (1)证明：如解图，连接OC，‎ ‎∵AB与⊙O相切于点C，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∴∠ACO＝∠BCO＝90°，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠AOC＝∠BOC，‎ ‎∵OC＝OC，‎ ‎∴△OAC≌△OBC(ASA)，‎ ‎∴OA＝OB；……(4分)‎ ‎(2)解：由(1)知△OAC≌△OBC，‎ ‎∴AC＝BC＝AB＝2，‎ ‎∵在Rt△OAC中，OA＝4，AC＝2，‎ ‎∴由勾股定理得OC＝＝2，……(6分)‎ ‎∵sinA＝＝＝，‎ ‎∴∠A＝30°，‎ ‎∴∠AOC＝60°，‎ ‎∴∠EOC＝∠AOC＝60°，‎ ‎∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCE＝×2×2－＝2－.……(9分)‎ ‎6. (1)解：根据题意可得，OA＝，OB＝，⊙M经过原点O，‎ ‎∵∠AOB＝90°，‎ ‎∴AB为⊙M的直径，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴在Rt△AOB中，AB＝＝＝2，‎ ‎∴⊙M的半径为AB＝；……(3分)‎ ‎(2)证明：∵∠COD与∠DBA是⊙M上所对的圆周角，‎ ‎∴∠COD＝∠DBA，‎ 又∵∠COD＝∠CBO，‎ ‎∴∠CBO＝∠DBA，‎ ‎∴BD平分∠ABO；……(6分)‎ ‎(3)解：如解图，过点A作⊙M的切线，交BD 的延长线于点E，过点E作y轴的垂线，垂足为点H，‎ ‎∵EA⊥AB，EH⊥BH，‎ ‎∴∠EAB ＝∠EHB＝90°，‎ 又∵BE＝BE，∠ABE＝∠HBE，‎ ‎∴△BEA≌△BEH(AAS)，‎ ‎∴BH＝BA＝2，‎ ‎∴OH＝BH－OB＝.……(7分)‎ ‎∵在Rt△AOB中，tan∠ABO＝＝＝，‎ ‎∴∠ABO＝60°，‎ ‎∴∠CBO＝30°，‎ 在Rt△BHE中，tan∠HBE＝tan30°＝＝，‎ ‎∴HE＝BH＝×2＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵EH∥x轴，‎ ‎∴点E 的坐标是(，)．……(9分)‎ ‎7．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，∠ABD＋∠BAC＝90°.……(2分)‎ ‎∵∠DBC＝∠BAC，‎ ‎∴∠ABD＋∠DBC＝90°，……(3分)‎ ‎∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，‎ 又∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴BC是⊙O的切线；……(4分)‎ ‎(2)解：如解图，连接OD，‎ ‎∵∠BAC＝30°，‎ ‎∴∠BOD＝2∠BAC＝60°.‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，……(6分)‎ ‎∴S阴影＝S扇形OBD－S△OBD＝－×2×＝－.……(8分)‎ ‎8．(1)解：∵AC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°；……(2分)‎ (2) 证明：如解图，连接OD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵在Rt△CDE中，F为CE边的中点，‎ ‎∴DF＝CF＝CE，‎ ‎∴∠FDC＝∠FCD，‎ 又∵OD＝OC，‎ ‎∴∠ODC＝∠OCD，‎ ‎∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，‎ 即∠ODF＝∠OCF.……(3分)‎ ‎∵EC⊥AC，‎ ‎∴∠OCF＝90°，‎ ‎∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，……(4分)‎ ‎∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴DF是⊙O的切线；……(5分)‎ ‎(3)解：∵∠ACE＝90°，∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠CAD＋∠E＝90°，∠DCE＋∠E＝90°，‎ ‎∴∠CAD＝∠DCE，‎ 又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，‎ ‎∴△ADC∽△CDE，‎ ‎∴＝，即CD2＝AD·DE.……(6分)‎ ‎∵AC＝2DE，‎ ‎∴令DE＝a，AD＝b，则AC＝2a，CD＝，‎ 在Rt△ACD中，由勾股定理可得：‎ b2＋()2＝(2a)2，‎ 解得＝4或＝－5(舍去)，……(8分)‎ ‎∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝＝2.……(9分)‎ 9. ‎ (1)证明：如解图，连接AD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AB＝AC，BD＝DC，‎ ‎∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，‎ ‎∴AB是⊙O的直径；‎ ‎(2)解：DE与⊙O相切．‎ 证明：连接OD，如解图，‎ ‎∵点O，D分别是BA，BC的中点，‎ ‎∴OD∥AC.‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴DE⊥OD，‎ ‎∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴DE与⊙O相切；‎ ‎(3)解：当∠BAC＝60°时，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∵AB＝6，‎ ‎∴BD＝3，‎ ‎∴AD＝3.‎ ‎∵AC·DE＝CD·AD，‎ ‎∴6×DE＝3×3，‎ ‎∴DE＝.‎ ‎10. (1)证明：∵CA切⊙O于点A，‎ ‎∴∠CAO＝90°.‎ ‎∵OC平分∠AOD，‎ ‎∴∠AOC＝∠DOC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 在△AOC和△DOC中，‎ ，‎ ‎∴△AOC≌△DOC(SAS)，‎ ‎∴∠CDO＝∠CAO＝90°，‎ ‎∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)解：由(1)知：OD⊥BC，‎ 又∵D是BC的中点，‎ ‎∴OD是BC的垂直平分线，‎ ‎∴OC＝OB，‎ ‎∴∠BOD＝∠DOC＝∠COA，‎ ‎∴∠DOE＝60°，‎ ‎∴的长度为＝π cm.‎ ‎11. 证明：(1)连接DE，∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ABE＝90°，‎ ‎∴AE是⊙O直径，‎ ‎∴∠ADE＝90°，‎ ‎∴DE⊥AC，‎ 又∵D是AC的中点，‎ ‎∴DE是AC的垂直平分线，‎ ‎∴AE＝CE；‎ ‎(2)解：在△ADE和△AEF中，‎ ‎∵∠ADE＝∠AEF＝90°，∠DAE＝∠FAE，‎ ‎∴△ADE∽△AEF，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴AE＝2，‎ ‎∴⊙O的直径为2；‎ ‎(3)解：∵AE＝CE，ED⊥AC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠CAB＝∠DEC＝∠DEA，‎ ‎∴sin∠CAB＝sin∠DEA＝，‎ 设AD＝K，则AF＝3K，同(2)，AE2＝AD·AF＝3K2，‎ ‎∴AE＝K，‎ ‎∴sin∠CAB＝sin∠DEA＝.‎ ‎ ‎ ‎12. (1)解：如解图，连接OD，‎ ‎∵∠BCD＝36°，∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°.‎ ‎∵BC是⊙O的直径，且BC＝10，‎ ‎∴l＝＝2π；‎ ‎(2)解：DE是⊙O的切线；理由如下：‎ ‎∵BC是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，‎ 又∵点E是线段AC中点，‎ ‎∴DE＝AE＝EC＝AC，‎ 在△DOE与△COE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△DOE≌△COE.‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ODE＝∠OCE＝90°，‎ ‎∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线；‎ ‎(3)证明：∵△DOE≌△COE，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴OE是线段CD的垂直平分线，‎ DE＝CE，‎ ‎∴点F是线段CD中点，‎ 已知点E是线段AC中点，则EF＝AD，‎ 在△ACD与△ABC中，‎ ，‎ ‎∴△ACD∽△ABC，‎ 则＝，即AC2＝AB·AD，‎ 而AC＝2CE，AD＝2EF，‎ ‎∴(2CE)2＝AB·2EF，‎ 即4CE2＝AB·2EF，‎ ‎∴2CE2＝AB·EF.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费