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揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(文科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
（1）已知集合，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数，则
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
（3）已知向量，，若，则
（A） （B） C） （D）
（4）某地铁站有A、B、C三个自动检票口，甲乙两人一同进站，则他们选择同一检票口检票的概率为
（A） （B） （C） （D）
（5）为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了次试验，得到组数据：，由最小二乘法求得回归直线方程为．若已知，则
（A） （B） （C） （D）
（6）若直线与直线关于x轴对称，则
（A） (B) -1 (C) (D) 1
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（7）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，且,
则角A的大小为
（A） （B）或 （C） （D）
（8）已知函数，则要得到函数的图象，只需将函数的图象
（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位
（C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位
（9）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则这个正方体的体积为
（A） （B）27 （C） （D）
-1
1
x
y
-1
1
x
y
-1
1
x
y
-1
1
x
y
（10）函数的部分图象大致为
（A） （B） （C） （D）
（11）某四棱锥的三视图如图1所示，则该四棱锥的最长棱
的长度为
（A） （B）
（C） （D）3
（12）已知，函数满足：恒成立，其中是的导函数，则下列不等式中成立的是
（A） （B）
（C） （D）
第Ⅱ卷
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本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
（13）图2是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出的
y的值是 .
（14）已知实数满足约束条件，则的最大值
为 ．
（15）中心在坐标原点的双曲线的一条渐近线被圆
截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．
（16）已知，则 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知递增等比数列的、二项为方程的两根，数列满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和.
（18）（本小题满分12分）
如图3，在三棱锥P-ABC中，△ABC和△PAC都是正三
角形，，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D，
平面PAC⊥平面ABC.
（Ⅰ）证明：EF⊥ED；
（Ⅱ）求点F到平面PAB的距离．
（19）（本小题满分12分）
甲、乙两人参加一个投掷飞镖的中奖游戏，从中随机选取50次所命中环数（整数），统计得下列频数分布表，
环数
3
4
5
6
7
8
9
10
甲的频数
1
2
4
7
10
15
9
2
乙的频数
0
1
2
9
14
17
5
2
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游戏中规定命中环数为1、2、3、4时获奖一元，命中环数为5、6、7时获奖二元，命中环数为8、9时获奖三元，命中10环时获奖四元，没命中则无奖．
（Ⅰ）根据上表，在答题卡给定的坐标系内画出甲50次获奖金额（单位：元）的条形图；
（Ⅱ）估计甲投掷飞镖一次所获奖金不小于三元的概率；
（Ⅲ）分别计算甲、乙各50次获奖金额的平均数和方差，若有一次投掷飞镖比赛的机会，你觉得从甲、乙两人选谁参赛比较好？
（20）（本小题满分12分）
设A，B为曲线C：上两点，A与B的横坐标之积为．
（Ⅰ）试判断直线AB是否恒过定点，并说明理由；
（Ⅱ）设曲线C在点A、B处的两条切线相交于点M，求点M的纵坐标．
（21）（本小题满分12分）
已知，函数，
（I）讨论的单调性；
（II）已知当时，函数存在两个零点和（），求证：．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．
（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），当k变化时，设 l1与l2的交点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C上的点A的极角为，射线OA与直线 的交点为B，且，求的值．
（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲
已知函数，a为实数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）求的最小值．
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数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题
题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
C
B
D
C
A
C
B
A
解析：（11）由三视图可知，该四棱锥为棱长为3的正方体的一部分，
如图，易得最长的棱长为PA=.
（12）因 ，故 令，则 ，所以函数在为减函数， .
二、填空题
题序
13
14
15
16
答案
2
3
解析：（16）,最小正周期,
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三、解答题
（17）解：（Ⅰ）解方程得，--------------------------------------1分
依题意得，设数列的公比为，则，
∵ ∴，-------------------------------------------------------------------------2分
∴，--------------------------------------------------------------3分
由---------------------------------------①
得当时-------------------②
① -② 得，
∴()------------------------------------------------------------------------------------6分
当时，由①得，
∴.-------------------------------------------------------------------7分
（Ⅱ）当时，
-------------------------------------------------------------------------8分
1
. ---------------------------------------------------------11分
当时，满足上式，
∴. -------------------------------------------------------------------------12分
（18）解：（Ⅰ）证明：∵E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF//AB，--------------------------------------------------------------------------------------1分
在正三角形PAC中，PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PE⊥平面ABC，-------------------------------------------------------------------------------3分
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∴PE⊥AB，
又PD⊥AB，PE∩PD=P，
∴AB⊥平面PED， -----------------------------------------------------------------------------5分
∴AB⊥ED，
又EF//AB，∴EF⊥ED；-----------------------------------------------------------------------6分
（Ⅱ）设点F到平面PAB的距离为d，
∵，
∴，---------------------------------------------------------------------7分
易知，
由AB⊥ED，可知，得，------------------------------------8分
∴，--------------------9分
∴，----------------------10分
由EF//AB，可知，
∴．---------------------------------------------------------12分
（19）解： （Ⅰ）依题意知甲50次获奖金额（单位：元）的频数分布为：
获奖金额
1
2
3
4
频数
3
21
24
2
其获奖金额的条形图如下图示：
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甲获奖金额
O
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
频数
1
2
3
4
----------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）甲投掷飞镖一次所获奖金数不小于3，即甲投掷飞镖一次所命中的环数不小于8，
因甲50次投掷中环数不小于8的有15+9+2=26（次），
所以估计甲投掷一次所获奖金数不小于3的概率为：；-------------------------7分
【或甲投掷飞镖一次所获奖金数不小于3，即所得的奖金为3元或4元，
由（Ⅰ）的条形图知所求的概率为】
（Ⅲ）甲50次获奖金额的平均数为，--------------8分
乙50次获奖金额的平均数为，---------------9分
甲50次获奖金额的方差为：
--10分
乙50次获奖金额的方差为：
，------11分
甲、乙的平均数相等，乙的方差小，故选乙参赛比较好．-----------------------------------------12分
（20）解：（Ⅰ）直线AB恒过定点，--------------------------------------------------------------1分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 显然直线AB的斜率存在，
设AB的方程为，
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联立，得， -----------------------------------------------------------3分
则，又，得m=1，---------------------------------------------------5分
故直线AB的方程为，直线过定点.-----------------------------------------6分
（Ⅱ）设，，
则曲线C在点A处的切线方程为，
又，得切线为，① -----------------------------------------------------7分
同理得曲线C在点B处的切线为，-------------------------------------------8分
又，即，
得切线为，即，②---------------------------------------10分
①+②，得，得，
所以点M的纵坐标为．-------------------------------------------------------------------------12分
（21）解：，
，
①若，显然恒成立，在上单调递增；------------------2分
②若，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；-------------------------------------4分
③若，当时，，
当时，由，得，由，得，
故在上单调递减，在上单调递增；-------------6分
（Ⅱ）证法1：∵，故，结合的单调性知，
的两个零点和满足以及，且，----7分
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∴，，于是，------------------------------8分
令，（）
则，---------------------------------9分
记，，
则，∴在上单调递减，，---------11分
故，即函数 在上单调递减，∴，
∴．---------------------------------------------------------------------------------------------12分
【证法2：∵，故，结合的单调性知，
的两个零点和满足以及，且，----7分
要证明，即证，
注意到、，且在上单调递减，
故只需证，即证，-------------------------------------------------8分
而，---------------------------------9分
记，，，
记，，则，
故即单调递减，，-----------------------------------------------------10分
故单调递减，，
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于是成立，原题得证．----------------------------------------------------------------------12分】
选做题：
（22）解：（Ⅰ）直线l1的普通方程为，-------------------------------------------1分
直线l2的普通方程为，------------------------------------------------------------------2分
联立两方程消去k，
得，即曲线C的普通方程为，-------------------------------3分
由得曲线C的极坐标方程为；------------------4分
化简得----------------------------------------------------------------------------5分
（Ⅱ）把代入，得，
∴，得，--------------------------------------------------------------------------7分
由已知得，--------------------------------------------------------------------------8分
把，代入方程l3得，
又，∴-----------------------------------------------------------------9分
∴，．---------------------------------------------------------------------------10分
（23）解：（Ⅰ）当时，不等式即，---------------1分
①当时，得，无解；--------------------------------------------------------2分
②当时，得，
解得，得；---------------------------------------------------------------------3分
③当时，得，无解；----------------------------------------------------------4分
综上知，不等式的解集为.----------------------------------------------------5分
（Ⅱ），---------------------------------------------6分
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①当或时，，------------------------------------------8分
②当时，，-----------------------------------------------------------9分
综上知，的最小值为2．---------------------------------------------------------------------10分
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