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由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第一章 三角形的证明 一、选择题(每小题3分，共30分)‎ ‎1．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（　B　）‎ A． 1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D． 2，2，5‎ ‎2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数是(　D　) ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是(　D　)‎ A．70° B．55°‎ C．50° D．40°‎ ‎ ‎ ‎4．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（　D　）‎ A． 三条边都相等的三角形 D． 一条中线把面积分成相等的两部分的三角形 B． 有一个锐角是45°的直角三角形 C． 一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形 ‎5．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是(　A　)‎ A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA ‎ C．∠C＝∠D D．BC＝AD ‎6．下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（　　）‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个A ‎7．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为(　C　)‎ A．8或10 B．8 ‎ C．10 D．6或12‎ ‎8．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(　A　)‎ A．48° B．36° C．30° D．24°‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为(　D　) ‎ A．2.5 B．1.5 ‎ C．2 D．1‎ ‎10．如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB于E，交AC于F，则图中的等腰三角形有(　D　)‎ A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分，共24分)‎ ‎11．等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是__________________________________________，这个逆命题是________命题．‎ ‎12．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为________．‎ ‎ ‎ 第12题图 第13题图 ‎13．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是________．‎ ‎14．如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中AB、CD分别表示超市一层、二层电梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长约为12米，则乘电梯从点B到点C上升的高度h约为________米．‎ ‎ ‎ 第14题图 第15题图 ‎15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为________．‎ ‎16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D.若∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ 第16题图 第17题图 ‎17．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是__________．‎ ‎18．若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为________．‎ 三、解答题(共66分)‎ ‎19．(8分)如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.‎ ‎20.(8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°，求∠ACB和∠BAC的度数．‎ ‎21．(8分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的高，连接EF.求证：AD垂直平分EF.‎ ‎22．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.‎ ‎(1)求证：△BED≌△CFD；‎ ‎(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．‎ ‎23．(10分)如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：‎ ‎(1)AD的长；‎ ‎(2)△ABC的面积．‎ ‎24．(10分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．‎ ‎(1)若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．‎ ‎25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.‎ ‎(1)求点B的坐标；‎ ‎(2)在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．‎ ‎(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 答案 ‎11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形　真 ‎12．100°　13.76　14.6　15.18　16.15　17.①②③‎ ‎18．30°或150°　解析：当高在三角形内部时，顶角是30°；当高在三角形外部时，顶角是150°.所以等腰三角形顶角的度数为30°或150°.‎ ‎19．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.(1分)∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.(4分)在△BEF和△CFD中，∴△BEF≌△CFD(ASA)，(7分)∴BF＝CD.(8分)‎ ‎20．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠DEC＝90°.(3分)∵∠ADC＝125°，∴∠DCE＝∠ADC－∠DEC＝35°.(5分)∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.(6分)又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.(8分)‎ ‎21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴点D在线段EF的垂直平分线上．(3分)在Rt△ADE和Rt△ADF中，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF，(6分)∴点A在线段EF的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD垂直平分EF.(8分)‎ ‎22．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.(4分)∴△BED≌△CFD(AAS)．(5分)‎ ‎(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.(7分)又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°，∴BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，(9分)∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＝3BC＝12.(10分)‎ ‎23．解：(1)∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.(2分)∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3.(4分)‎ ‎(2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.(6分)∵AB2＝BD2＋AD2，∴(2BD)2＝BD2＋AD2，BD＝.(8分)∴S△ABC＝BC·AD＝(BD＋DC)·AD＝×(＋3)×3＝9＋3.(10分)‎ ‎24．解：(1)△DEF是等边三角形．(1分)证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE，(3分)∴DF＝ED＝FE.∴△DEF是等边三角形．(5分)‎ ‎(2)AD＝BE＝CF成立．(6分)证明如下：如图，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.(8分)∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易证△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.(10分)‎ ‎25．解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C.∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝30°.(2分)又∵∠OCB＝90°，∴BC＝OB 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝1，由勾股定理得OC＝，∴点B的坐标为(，1)．(4分)‎ ‎(2)∠ABQ＝90°，始终不变．(5分)理由如下：∵△APQ，△AOB均为等边三角形，∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB，∴∠PAO＝∠QAB.(6分)在△APO与△AQB中，∴△APO≌△AQB(SAS)，∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.(8分)‎ ‎(3)当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B上方，易知OQ与AB相交．当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方．∵AB∥OQ，∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.又OB＝OA＝2，∴OQ＝1，可求得BQ＝，(10分)由(2)可知△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝，∴此时点P的坐标为(－，0)．(12分)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费