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沪科版8年级数学（下）第18章单元精编试题(含解析)
满分：150分
一、单选题（共10题；共40分）
1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4 B. 10，8，4 C. 7，25，24 D. 7，15，12
2.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
3.如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（ ）米．
A. 15 B. 20 C. 3 D. 24
4.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 2，3，4 B. 5，3，4 C. 4，6，9 D. 5，11，13
5.如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（ ）
A. B. C. 13 D. 5
6.以下列各组数作为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，1， B. 6，8，10 C. 8，15，17 D. 1，2，2
7.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
8. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,CD是斜边AB边上的中线,则CD=
A.2.5 B.6 C.13 D.6.5
9.若三角形三边的长为下列各组数，则其中是直角三角形的是（ ）
A. 6，6，6 B. 5，12，13 C. 4，5，6 D. 5，5，8
10.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
二、填空题（共4题；共20分）
11.现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒，则斜边需用________根同样的火柴棒．
12.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：________三角形．
13.如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯________米．
14.一木杆于离地面9m处断裂，木杆顶落于离木杆底部12m处，则木杆在断裂前高________ m．
三、解答题（共7题；共60分）
15.（8分）一块空地的如图如示，AB=9m、BC=12m、CD=8m、AD=17m、∠ABC=90°，求这块空地的面积．
16.（8分）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
17.（8分）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？
18.（8分）如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE是AB边上的高，且DE=7，△ABE的面积为35，求∠C的度数．
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19.（8分）在右图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．请在图中画一个面积为10的正方形，并写出其边长．（要求：正方形的顶点都在格点上）
20.（10分）在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5 ，CD=5，∠ABC=90°，求对角线BD的长．
21.（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动．设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．
四、综合题（共2题；共30分）
22.如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．
（1）求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？
23.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE= AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．
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答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】勾股数
【解析】【解答】解：A、不能，因为：22+32≠42； B、不能，因为：82+42≠102；
C、能，因为：72+242=252；
D、不能，因为：72+122≠152；
故选：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．
2.【答案】B
【考点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，推断出62+82=102 ， 由勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形，
故选B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】D
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：因为AB=9米，AC=12米， 根据勾股定理得BC= =15米，
于是折断前树的高度是15+9=24米．
故选D．
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．
4.【答案】B
【考点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、22+32≠42 ， 根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误； B、32+42=52 ， 根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；
C、42+62≠92 ， 根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；
D、52+112≠132 ， 根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误．
故选B．
【分析】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．
5.【答案】A
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵A（2，0）和B（0，3），
∴OA=2，OB=3，
∴AB= = = ．
故选A．
【分析】先根据A、B两点的坐标求出OA及OB的长，再根据勾股定理即可得出结论．
6.【答案】D
【考点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+12= 2 ， 符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、62+82=102 ， 符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、82+152=172 ， 符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、12+22=≠22 ， 不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选D．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
7.【答案】C
【考点】勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
【解答】根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（)2+（)2=（)2 ．
∴AC2+BC2=AB2 ．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
8.【答案】D
【考点】勾股定理
9.【答案】B
【考点】勾股定理的逆定理
【解析】
【分析】找出四个选项中三个数字中最大的数，求出最大数的平方，剩下两数求出平方和，结果相等可根据勾股定理的逆定理得到此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形，利用此方法即可得到的符合题意的选项．
【解答】A、三边长都为6，此三角形为等边三角形，不合题意；
B、∵52+122=25+144=169，132=169，
∴52+122=132 ，
则此三角形为直角三角形，符合题意；
C、∵42+52=16+25=41，62=36，
∴42+52≠62 ，
则此三角形不是直角三角形，不合题意；
D、∵52+52=25+25=50，82=64，
∴52+52≠82 ，
则此三角形不是直角三角形，不合题意，
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故选B．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理的运用，勾股定理的逆定理为：三角形中，若一边的平方等于其余两边的平方和，则这条边所对的角为直角，此时三角形为直角三角形．
10.【答案】C
【考点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，
∴OM2+ON2=MN2 ，
∴∠MON=90°，
∵∠EOM=20°，
∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，
故选C．
【分析】求出OM2+ON2=MN2 ， 根据勾股定理的逆定理得出∠MON=90°，根据平角定义求出即可．
二、填空题
11.【答案】25
【考点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒 ∴斜边需用 =25．
【分析】根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量．
12.【答案】直角
【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65， ∴AC2+AB2=BC2 ， ∴△ABC是直角三角形．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
13.【答案】7
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC=3m，AC=5m ∴AB= = =4（m），
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=7米．
故答案为：7．
【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=3m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．
14.【答案】24
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，∵AB=9m，AC=12m， ∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2 ，
∴BC=15m，
∴树折断之前有24m．
故答案为：24．
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理计算出BC的长，即可求得树折断之前的高度．
三、解答题
15.【答案】解：如图，连接AC． ∵AB=9m、BC=12m，∠ABC=90°，
∴AC2=AB2+BC2=152 ．
又∵CD=8m、AD=17m，
∴AD2=AC2+CD2=289，
∴AC⊥CD，
∴这块空地的面积=S△ACD+S△ABC= AB•BC+ AC•CD= ×9×12+ ×15×8=114（m2）．
答：这块空地的面积是114m2 ．
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．
16.【答案】解：设AE=xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE，即DE2=CE2 ，
由勾股定理，得152+x2=102+（25﹣x）2 ， x=10．
故：E点应建在距A站10千米处．
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
17.【答案】解：BM=8×2=16海里，
BP=15×2=30海里，
在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，
BM2+BP2=PM2 ，
∴∠MBP=90°，
180°﹣90°﹣60°=30°，
故乙船沿南偏东30°方向航行
【考点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先根据路程=速度×时间，求出BM，BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到∠MBP=90°，进一步即可求解．
18.【答案】解：∵DE=7，S△ABE=DE•AB=35，
∴AB=10
∵AC=8，BC=6，62+82=102 ，
∴AC2+BC2=AB2由勾股定理逆定理得∠C=90°．
【考点】勾股定理
【解析】【分析】由S△ABE=35，求得AB=10，根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，从而得到∠C的度数．
19.【答案】解：∵面积为10的正方形的边长为，
=，
∴面积为5的正方形，如图所示．
【考点】勾股定理
【解析】【分析】由正方形的面积得出边长，由勾股定理即可得出结果．
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20.【答案】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：
则∠M=90°，
∴∠DCM+∠CDM=90°，
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC2=AB2+BC2=25，
∴AC=5，
∵AD=5 ，CD=5，
∴AC2+CD2=AD2 ，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCM=90°，
∴∠ACB=∠CDM，
∵∠ABC=∠M=90°，
∴△ABC∽△CMD，
∴ = = =1，
∴CM=AB=5，DM=BC=4，
∴BM=BC+CM=9，
∴BD= = = ．
【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理
【解析】【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2 ， 由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=AB=5，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=9，再由勾股定理求出BD即可．
21.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm.
(2)由题意知BP＝t cm.
①如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4；
②如图②，当∠BAP为直角时，BP＝t cm，
CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，
在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2.
在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，
整理，得52＋[32＋(t－4)2]＝t2，
解得t＝.
故当△ABP为直角三角形时，t的值为4或.
四、综合题
22.【答案】（1）解：由题意得：AB=2.5米，BE=0.7米， ∵AE2=AB2﹣BE2 ，
∴AE= =2.4米
（2）解：由题意得：EC=2.4﹣0.4=2（米）， ∵DE2=CD2﹣CE2 ，
∴DE= =1.5（米），
∴BD=0.8米
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABE中利用勾股定理求出AC的长即可；（2）首先在Rt△CDE中利用勾股定理求出DE的长，然后再计算出DB的长即可．
23.【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC= AC，AD=CD，
∵DE∥AC且DE= AC，
∴DE=OA=OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∴OE=AD，
∴OE=CD；
（2）解：∵AC⊥BD， ∴四边形OCED是矩形，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2，
∴在矩形OCED中，CE=OD= = ．
∴在Rt△ACE中，AE= = ．
【考点】勾股定理的应用，菱形的性质，矩形的性质
【解析】【分析】（1）由菱形ABCD中，DE∥AC且DE= AC，易证得四边形OCED是平行四边形，继而可得OE=CD即可；（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
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