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高考模拟考试 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若集合，，则的一个充分不必要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎4.已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为（ ）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎6.已知变量，满足约束条件，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知函数的最小正周期为，且，则（ ）‎ A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递减 ‎9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出，的值分别为（ ）‎ A．13，21 B．34，55 C．21，13 D．55，34‎ ‎10.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若 ‎，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.已知向量，，若与平行，则实数的值是 ．‎ ‎14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为 ．‎ ‎15.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含项的系数为 ．‎ ‎16.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：‎ 原点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；‎ 点处标数字0，记为；点处标数字-1，记为；‎ 点处标数字-2，记为；点处标数字-1，记为；‎ 点处标数字0，记为；点处标数字1，记为；‎ ‎…‎ 以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（，均为整数），记，则 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，且的面积为，求.‎ ‎18.如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，，将它沿对称轴折起，使平面平面.如图2，点为中点，点在线段上（不同于，两点），连接并延长至点，使.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19.‎2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.‎ 表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 频数 ‎4‎ ‎36‎ ‎96‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎4‎ ‎（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 ‎（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；‎ ‎（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20.在平面直角坐标系中，抛物线：，直线与抛物线交于，两点.‎ ‎（1）若直线，的斜率之积为，证明：直线过定点；‎ ‎（2）若线段的中点在曲线：上，求的最大值.‎ ‎21.已知函数有两个不同的零点.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设，是的两个零点，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2018年济南市高考数学模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 2 14. 15. -48 16. -249‎ 三、解答题 ‎17.【解析】‎ ‎（1）根据正弦定理，‎ 由已知得：，‎ 展开得：，‎ 整理得：，所以，.‎ ‎（2）由已知得：，∴，‎ 由，得：，，∴，‎ 由，得：，所以，，‎ 由，得：.‎ ‎18.【解析】‎ ‎（1）【解法一（几何法）】‎ 取的中点为，连接，；∴，‎ ‎∵，∴，∴、、、四点共面，‎ 又由图1可知，‎ ‎∵平面平面，‎ 且平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，‎ ‎∴.‎ 在直角梯形中，，，‎ ‎，∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵，且平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（1）【解法二（向量法）】‎ 由题设知，，两两垂直，所以以为坐标原点，‎ ‎，，所在直线分别为轴、轴、轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，设的长度为，‎ 则相关各点的坐标为，，，，，.‎ ‎∵点为中点，∴，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，且与不共线，‎ ‎∴平面.‎ ‎ ‎ ‎（2）∵，，∴，‎ 则，∴，.‎ 设平面的法向量为，‎ ‎∵，∴，令，则，，则，‎ 又显然，平面的法向量为，‎ 设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，‎ 则.‎ ‎19.【解析】‎ ‎（1）根据图3和表1得到列联表：‎ 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 ‎172‎ ‎192‎ ‎364‎ 不合格品 ‎28‎ ‎8‎ ‎36‎ 合计 ‎200‎ ‎200‎ ‎400‎ 将列联表中的数据代入公式计算得：‎ ‎.‎ ‎∵，‎ ‎∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.‎ ‎（2）根据图3和表1可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.‎ ‎（3）由表1知：‎ 一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；‎ 二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；‎ 三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.‎ 由已知得：随机变量的取值为：240，300，360，420，480.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎∴随机变量的分布列为：‎ ‎240‎ ‎300‎ ‎360‎ ‎420‎ ‎480‎ ‎∴.‎ ‎20.【解析】‎ 设，，‎ ‎（1）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 由，得：，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 由已知：，所以，‎ ‎∴直线的方程为，所以直线过定点.‎ ‎（2）设，则，，‎ 将带入：得：‎ ‎，∴.‎ ‎∵，∴，∴，‎ 又∵，∴，‎ 故的取值范围是：.‎ ‎，将代入得：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 所以的最大值为.‎ ‎21.【解析】‎ ‎（1）【解法一】‎ 函数的定义域为：.‎ ‎，‎ ‎①当时，易得，则在上单调递增，‎ 则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.‎ ‎②当时，令得：，则 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 增 极大 减 ‎∴.‎ 设，∵，则在上单调递增.‎ 又∵，∴时，；时，.‎ 因此：‎ ‎（i）当时，，则无零点，‎ 不符合题意，舍去.‎ ‎（ii）当时，，‎ ‎∵，∴在区间上有一个零点，‎ ‎∵，‎ 设，，∵，‎ ‎∴在上单调递减，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴在区间上有一个零点，那么，恰有两个零点.‎ 综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是.‎ ‎（1）【解法二】‎ 函数的定义域为：.，‎ ‎①当时，易得，则在上单调递增，‎ 则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.‎ ‎②当时，令得：，则 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 增 极大 减 ‎∴.‎ ‎∴要使函数有两个零点，则必有，即，‎ 设，∵，则在上单调递增，‎ 又∵，∴；‎ 当时：‎ ‎∵，‎ ‎∴在区间上有一个零点；‎ 设，‎ ‎∵，∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 则，∴在区间上有一个零点，‎ 那么，此时恰有两个零点.‎ 综上所述，当有两个不同零点时，的取值范围是.‎ ‎（2）【证法一】‎ 由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；‎ 当时，是减函数；‎ 不妨设：，则：；‎ 设，，‎ 则：‎ ‎.‎ 当时，，∴单调递增，又∵，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，，在上单调递减，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）【证法二】‎ 由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时，是增函数；‎ 当时，是减函数；‎ 不妨设：，则：；‎ 设，，‎ 则 ‎.‎ 当时，，∴单调递增，‎ 又∵，∴，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，在上单调递减，‎ ‎∴，∴.‎ ‎22.【解析】‎ ‎（1）由已知得：，消去得，‎ ‎∴化为一般方程为：，‎ 即：：.‎ 曲线：得，，即，整理得，‎ 即：：.‎ ‎（2）把直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程中得：‎ ‎，即，‎ 设，两点对应的参数分别为，，则，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎23.【解析】‎ ‎（1）当时，，∴，故；‎ 当时，，∴，故；‎ 当时，，∴，故；‎ 综上可知：的解集为.‎ ‎（2）由（1）知：，‎ ‎【解法一】‎ 如图所示：作出函数的图象，‎ 由图象知，当时，，解得：，‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【解法二】‎ 当时，恒成立，∴，‎ 当时，恒成立，∴，‎ 当时，恒成立，∴，‎ 综上，实数的取值范围为.‎