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莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎2018届山西省高三第一次模拟考试 数学（文）试题 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列命题正确的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为真命题 B．命题“若，则”的逆命题为真命题 C．命题“”的否定是“”‎ D．“”是“”的充分不必要条件 ‎3.已知，则（ ）‎ A．-3 B． C． D．3‎ ‎4.已知向量在向量方向上的投影为2，且，则 （ ）‎ A．-2 B．-1 C. 1 D．2‎ ‎5.若点为圆上的一个动点，点为两个定点，则的最大值是 （ ）‎ A．2 B． C. 4 D．‎ ‎6.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是 （ ）‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ A． B． C. D．‎ ‎7.完成下列表格，据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是（ ）‎ 多面体 顶点数 面数 棱数 各面内角和的总和 三棱锥 ‎4‎ ‎6‎ 四棱锥 ‎5‎ ‎5‎ 五棱锥 ‎6‎ ‎（说明：上述表格内，顶点数指多面体的顶点数.）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 甲、乙二人约定7:10在某处会面，甲在7：00-7：20内某一时刻随机到达，乙在7：05-7：20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，如果输入的是10，则与输出结果的值最接近的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎10.在中，点为边上一点，若，则的面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.若对于，且，都有，则的最大值是（ ）‎ A． B． C. 0 D．-1‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.若复数，则复数的模是 ．‎ ‎14.已知是定义在上周期为4的函数，且，当时，，则 ．‎ ‎15.如图，点在轴的非负半轴上运动，点在轴的非负半轴上运动.且.设点位于轴上方，且点到轴的距离为，则下列叙述正确的个数是_________.‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎①随着的增大而减小；‎ ‎②的最小值为，此时；‎ ‎③的最大值为，此时；‎ ‎④的取值范围是.‎ ‎16.若双曲线的左焦点为，右顶点为，为的左支上一点，且，则的离心率是 ．‎ 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分. ‎ ‎17. 已知等比数列中，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.如图，在多面体中，四边形为菱形，，且平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求多面体的体积.‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎19.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元.‎ 该公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：‎ 包裹件数范围 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎（1）某人打算将三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；‎ ‎（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？‎ ‎20.已知椭圆过点，且两个焦点的坐标分别为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若（点不与椭圆顶点重合）为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.‎ ‎（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值.‎ ‎23. 【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）若的最小值不小于3，求的最大值；‎ ‎（2）若的最小值为3，求的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CADDB 6-10: BACBA 11、12：BC 二、填空题 ‎13. 2 14. -1 15. 2 16. 4‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设等比数列的公比为，则，‎ 因为，所以，‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 因为，解得，‎ 所以；‎ ‎（2），‎ 设，则，‎ ‎.‎ ‎18. （1）证明：‎ 连接，由四边形为菱形可知，‎ ‎∵平面平面，且交线为，‎ ‎∴平面，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴；‎ ‎（2）解：，由（1）知平面，又，∴平面，‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 则，‎ 取的中点，连接，则，‎ 由（1）可知，∴平面，‎ 则，‎ 所以，即多面体的体积为.‎ ‎19.解：（1）由题意，寄出方式有以下三种可能：‎ 情况 第一包裹 第二个包裹 甲支付的总快递费 礼物 重量（）‎ 快递费（元）‎ 礼物 重量（）‎ 快递费（元）‎ ‎1‎ ‎0.3‎ ‎10‎ ‎3.3‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎2‎ ‎1.8‎ ‎15‎ ‎1.8‎ ‎15‎ ‎30‎ ‎3‎ ‎1.5‎ ‎15‎ ‎2.1‎ ‎20‎ ‎35‎ 所有3种可能中，有1种可能快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所示概率为；‎ ‎（2）将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范围 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 平均揽件数 故公司平均每日利润的期望值为（元）；‎ 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎300‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 平均揽件数 故公司平均每日利润的期望值为（元）‎ 故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.‎ ‎20.解：（1）由已知得，‎ ‎∴，则的方程为；‎ ‎（2）设代入得 ‎，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 设，由，得 ‎，‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎∵点在椭圆上，∴，即，∴，‎ 在中，令，则，令，则.‎ ‎∴三角形面积，‎ 当且仅当时取得等号，此时，‎ ‎∴所求三角形面积的最小值为.‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 若，则 当或时，单调递增；‎ 当时，单调递减，‎ 若，则 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.‎ ‎（2）原题等价于对任意，有成立，‎ 设，所以，‎ ‎，‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 令，得；令，得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 为与中的较大值，‎ 设，‎ 则，‎ 所以在上单调递增，故，所以，‎ 从而，‎ 所以，即，‎ 设，则，‎ 所以在上单调递增，‎ 又，所以的解为，‎ 因为，所以正实数的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）的普通方程为，‎ 把代入上述方程得，，‎ ‎∴的方程为，‎ 令，‎ 所以的极坐标方程为；‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎ 莲山课件http://www.5ykj.com/‎ ‎（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 而，∴，‎ 而，∴或.‎ ‎23.解：（1）因为，所以，解得，即；‎ ‎（2），‎ 当时，，所以不符合题意，‎ 当时，，即，‎ 所以，解得，‎ 当时，同法可知，解得，‎ 综上，或-4.‎ ‎ ‎ ‎·12·莲山课件http://www.5ykj.com/‎