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www.ks5u.com 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知单元素集合，则（ ）‎ A． 0 B． ‎-4 C． -4或1 D．-4或0‎ ‎2. 某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）‎ A．6种 B． 12种 C．18种 D．24种 ‎3. 已知函数，若，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，则向量 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.已知抛物线，过点的直线与相交于两点，为坐标原点，若，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵中，，则阳马的外接球的表面积是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 若满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是10，则与输出结果的值最接近的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在中，点为边上一点，若，则的面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.某市1路公交车每日清晨6：30于始发站A站发出首班车，随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班，甲在6：35-6：55内随机到达A站候车，乙在6：50-7：05内随机到达A站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图，中，，若其顶点在轴上运动，顶点在轴的非负半轴上运动.设顶点的横坐标非负，纵坐标为，且直线的倾斜角为，则函数的图象大致是 （ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12. 定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）‎ A． -1 B． C. D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.在复平面内，复数对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.已知，则 ．‎ ‎15.过双曲线的右焦点，且斜率为2的直线与的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ．‎ ‎16.一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为1，则该正方体的体积是 ．‎ 三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分. ‎ ‎17. 已知等比数列中，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：‎ 包裹重量（单位：）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 包裹件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ 公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：‎ 包裹件数范围 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.‎ ‎（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在之间的概率；‎ ‎（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；‎ ‎②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工 作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？‎ ‎19.如图，在多面体中，四边形为菱形，，且平面平面.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆过点，且两个焦点的坐标分别为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若为上的三个不同的点，为坐标原点，且，求证：四边形的面积为定值.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将 曲线经过伸缩变换：得到曲线.‎ ‎（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值.‎ ‎23. 【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）若的最小值不小于3，求的最大值；‎ ‎（2）若的最小值为3，求的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DBDCB 6-10: BABCA 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）设等比数列的公比为，则，‎ 因为，所以，‎ 因为，解得，‎ 所以；‎ ‎（2），‎ 设，则，‎ ‎.‎ ‎18.解：（1）样本中包裹件数在之间的天数为48，频率，‎ 故可估计概率为，‎ 显然未来3天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布，‎ 即，故所求概率为；‎ ‎（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：‎ 包裹重量（单位：）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 快递费（单位：元）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 包裹件数 ‎43‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎8‎ ‎4‎ 故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），‎ 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.‎ ‎②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加（元），‎ 将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范围 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 天数 ‎6‎ ‎6‎ ‎30‎ ‎12‎ ‎6‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 故公司平均每日利润的期望值为（元）；‎ 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：‎ 包裹件数（近似处理）‎ ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎350‎ ‎450‎ 实际揽件数 ‎50‎ ‎150‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎300‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 故公司平均每日利润的期望值为（元）‎ 因，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.‎ ‎19.（1）证明：‎ 连接，由四边形为菱形可知，‎ ‎∵平面平面，且交线为，‎ ‎∴平面，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∵平面，∴；‎ ‎（2）解：设，过点作的平行线，‎ 由（1）可知两两互相垂直，‎ 则可建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，则为平面的一个法向量，‎ 同理可得为平面的一个法向量.‎ 则，‎ 又二面角的平面角为钝角，则其余弦值为.‎ ‎20.解：（1）由已知得，‎ ‎∴，则的方程为；‎ ‎（2）当直线的斜率不为零时，可设代入得：‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 设，由，得 ‎，‎ ‎∵点在椭圆上，∴，即，∴，‎ ‎，‎ 原点到直线的距离为.‎ ‎∴四边形的面积：.‎ 当的斜率为零时，四边形的面积，‎ ‎∴四边形的面积为定值.‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为，‎ 当时，，所以，‎ ‎①当时，时无零点，‎ ‎②当时，，所以在上单调递增，‎ 取，则，‎ 因为，所以，此时函数恰有一个零点，‎ ‎③当时，令，解得，‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ 当时，，所以在上单调递增.‎ 要使函数有一个零点，则即，‎ 综上所述，若函数恰有一个零点，则或；‎ ‎（2）令，根据题意，当时，恒成立，又，‎ ‎①若，则时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.‎ ‎②若，则时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.‎ ‎③若，则时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意，都成立”的充要条件是，即，解得，故.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎22.解：（1）的普通方程为，‎ 把代入上述方程得，，‎ ‎∴的方程为，‎ 令，‎ 所以的极坐标方程为；‎ ‎（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 而，∴，‎ 而，∴或.‎ ‎23.解：（1）因为，所以，解得，即；‎ ‎（2），‎ 当时，，所以不符合题意，‎ 当时，，即，‎ 所以，解得，‎ 当时，同法可知，解得，‎ 综上，或-4.‎