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www.ks5u.com ‎ 第一次模拟测试卷 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知角的终边经过点，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知奇函数是函数是导函数，若时，则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.设不等式组表示的平面区域为，若直线经过区域内的点，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.平面内直角三角形两直角边长分别为，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )‎ A. B. C. D.8‎ ‎8.执行如图程序框图，则输出的等于( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.函数的图象大致为( )‎ A B C D ‎10.已知具有线性相关的五个样本点，，，，，用最小二乘法得到回归直线方程，过点，的直线方程，那么下列4个命题中，‎ ‎①；②直线过点；③‎ ‎④.(参考公式，)‎ 正确命题的个数有( )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎11.设函数，若的最大值不超过1，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知椭圆，为坐标原点，是椭圆上两点，的斜率存在并分别记为、，且，则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.展开式中的常数项为________________.‎ ‎14.平面向量，，若有，则实数________________.‎ ‎15.在圆上任取一点，则该点到直线的距离的概率为________________.‎ ‎16.已知台风中心位于城市东偏北(为锐角)度的200公里处，若，则__________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知等比数列的前项和为，满足，.‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)记，数列的前项和为，求证：.‎ ‎18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成 甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在，按照区间，，，，进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.‎ (1) 完成表格，并判断是否有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；‎ ‎(2)从乙班，，分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自发言的人数为随机变量，求的分布列和期望.‎ ‎19.如图，四棱锥中，底面，为直角梯形，，，，，过点作平面平行于平面，平面与棱，，，分别相交于点，，，.‎ ‎(1)求的长度；‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交于，两点，.‎ ‎(1)求抛物线方程；‎ ‎(2)点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.‎ ‎21.已知函数在点处的切线是.‎ ‎(1)求函数的极值；‎ ‎(2)当恒成立时，求实数的取值范围(为自然对数的底数).‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求的面积.‎ ‎23.已知.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围.‎ NCS20180607项目第一次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A A C C C B C A B A C 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ ‎13． 14. 15. 16. ‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.‎ ‎17.【解析】（Ⅰ）设的公比为，由得，,‎ 所以， 所以. 又因为， ‎ 所以， 所以. 所以. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 所以， ‎ 所以 ‎. ‎ ‎18.（Ⅰ）依题意得 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关” ‎ ‎（Ⅱ）从乙班分数段中抽人数分别为2，3，2 …‎ 依题意随机变量的所有可能取值为 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎19. 【解析】（Ⅰ）【法一】（Ⅰ）因为平面，平面平面， ‎ ‎，平面平面，所以，同理，‎ 因为∥，‎ 所以∽，且，‎ 所以，，‎ 同理，‎ 连接，则有∥，‎ 所以，，所以，同理，，‎ 过点作∥交于，则 ‎ ‎【法二】因为平面，平面平面，,‎ 平面平面，‎ 根据面面平行的性质定理，所以，同理，‎ 因为,所以，且,‎ 又因为∽，,所以，‎ 同理,，‎ 如图：作,‎ 所以，‎ 故四边形为矩形，即,‎ 在中,所以，所以. ‎ ‎（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系,‎ ‎, 设平面的法向量为,‎ ‎,令，得, ‎ 因为平面平面，所以平面的法向量 ‎ ‎，二面角的余弦值为 ‎20. 【解析】（Ⅰ）依题意，‎ 当直线的斜率不存在时，‎ 当直线的斜率存在时，设 由，化简得 ‎ 由得，，所以抛物线方程. ‎ ‎（Ⅱ）设，，则，又由，可得 因为，，所以，故直线 ‎ 由， 化简得，所以.‎ 所以 设点到直线的距离为，则 ‎ 所以，当且仅当，即 ‎, . ‎ ‎21. 【解析】（Ⅰ）因为，所以，‎ 因为点处的切线是，所以，且 所以，即（） ‎ 所以，所以在上递增，在上递减 所以的极大值为，无极小值. ‎ ‎（Ⅱ）当在恒成立时, 由（Ⅰ），‎ 即在恒成立， ‎ ‎【法一】设，则，，‎ 又因为，所以当时，；当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，； ‎ 在上单调递增，在上单调递减，. ‎ 所以均在处取得最值，所以要使恒成立，‎ 只需，即，解得，又，‎ 所以实数的取值范围是. ‎ ‎【法二】设（），则 当 时，，，则，，即 当 时，，，则，，即 所以在上单调递增，在上单调递减. ‎ 所以，即，又 所以实数的取值范围是. ‎ ‎22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程，得普通方程， ‎ 所以极坐标方程，即. ‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线的交点为，得，‎ 又直线与曲线的交点为，得，‎ 且，所以. ‎ ‎23. 【解析】（Ⅰ）当时，，‎ ‎ 得； 得； 得，‎ 所以的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，‎ 又因为，‎ 要使原不等式恒成立，则只需， ‎ 当时，无解；当时，，解得；‎ 当时，，解得.‎ 所以实数的取值范围是. ‎