高三数学考试(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数,则( )
A.-1 B.1 C. D.
2.若向量与向量共线,则( )
A.0 B.4 C. D.
3.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
4.函数的图象的对称轴方程为( )
A. B.
C. D.
5. 如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.7 B.6 C.5 D.4
6. 若函数在上是增函数,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.在公比为的正项等比数列中,,则当取得最小值时,( )
A. B. C. D.
8.若,,则( )
A.2 B. C.3 D.
9.设双曲线:的左、右焦点分别为,,上存在关于轴对称的两点,(在的右支上),使得,为坐标原点,且为正三角形,则的离心率为( )
A. B. C. D.
10. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题:“今有善田一亩,价三百;恶田七亩,价五百.今并买一顷,价钱一万.问善、恶田各几何?”其意思为:“今有好田1亩价值300钱;坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷,价值10000钱.问好、坏田各有多少亩?”已知1顷为100亩,现有下列四个程序框图,其中的单位为钱,则输出的,分别为此题中好、坏田的亩数的是( )
A. B. C. D.
11.若函数在上单调递减,则称为函数.下列函数中为函数的序号为( )
① ② ③ ④
A.①②④ B.①③ C.①③④ D.②③
12.设正三棱锥的高为,且此棱锥的内切球的半径,则( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若是从区间内任意选取的一个实数,也是从区间内任意选取的一个实数,则的概率为 .
14.若圆:的圆心为椭圆:的一个焦点,且圆经过的另一个焦点,则 .
15. 已知数列,的前项和分别为,,,且,则 .
16.若曲线上至少存在一点与直线上的一点关于原点对称,则的取值范围为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.的内角,,所对的边分别为,,.已知,,且.
(1)求;
(2)证明:的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍.
18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动,抽奖箱里放有2个红球,1个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同),从中随机一次性取2个小球,每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下:
①凡购物满100(含100)元者,凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会;
②凡购物满188(含188)元者,凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会;
③若取得的2个小球都是红球,则该顾客中得一等奖,奖金是一个10元的红包;
④若取得的2个小球都不是红球,则该顾客中得二等奖,奖金是一个5元的红包;
⑤若取得的2个小球只有1个红球,则该顾客中得三等奖,奖金是一个2元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据(单位:元),绘制得到如图所示的茎叶图.
(1)求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖);
(2)求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分);
(3)分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元,5元,2元的概率.
19.如图,在各棱长均为2的正三棱柱中,为棱的中点,在棱上,,,为线段上的动点,其中,更靠近,且.在棱上,且.
(1)证明:平面;
(2)若,求三棱锥的体积.
20.已知,抛物线:与抛物线:异于原点的交点为,且抛物线在点处的切线与轴交于点,抛物线在点处的切线与轴交于点,与轴交于点.
(1)若直线与抛物线交于点,,且,求抛物线的方程;
(2)证明:的面积与四边形的面积之比为定值.
21.已知函数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)比较与的大小,并加以证明;
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑,并且在解答过程中写清每问的小题号.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,且),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为.
(1)将曲线的参数方程化为普通方程,并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求曲线与曲线交点的极坐标.
23.[选修4-5:不等式选讲]
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若直线与函数的图象有公共点,求的取值范围.
高三数学详细参考答案(文科)
一、选择题
1-5: ADBCB 6-10: AAADB 11、12:BD
二、填空题
13. 14. 8 15. 16.
三、解答题
17.(1)解:∵,∴,即,
则.
(2)证明:∵,,∴,或,.
若,,则,∴,∴.
若,,同理可得.
故的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.
18.解:(1)这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5+3+2+1=11.
这20位顾客中,有8位顾客获得一次抽奖的机会,有3位顾客获得两次抽奖的机会,故共有14次抽奖机会.
(2)获得抽奖机会的数据的中位数为110,
平均数为.
(3)记抽奖箱里的2个红球为红1,红2,从箱中随机取2个小球的所有结果为(红1,红2),(红1,蓝),(红1,黄),(红2,蓝),(红2,黄),(蓝,黄),共有6个基本事件.
在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为,
获得5元的概率为,
获得2元的概率为.
19.(1)证明:由已知得为正三角形,为棱的中点,∴,
在正三棱柱中,底面,则.
又,∴平面,∴.
易证,又,∴平面.
(2)解:连结,则,
∵,,∴.
又,∴.
由(1)知平面,∴到平面的距离.
设,∵,∴,
∵,∴,∴,∴.
∴.
20.(1)解:由,消去得.
设,的坐标分别为,,
则,.
∴,∵,∴.
故抛物线的方程为.
(2)证明:由,得或,则.
设直线:,与联立得.
由,得,∴.
设直线:,与联立得.
由,得,∴.
故直线:,直线:,
从而不难求得,,,
∴,,∴的面积与四边形的面积之比为(为定值).
21.解:(1),
令,得,;
令,得或;
令,得.
故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
(2).
证明如下:
设,∵为增函数,
∴可设,∵,,∴.
当时,;当时,.
∴,
又,∴,
∴.
∵,∴,
∴,.
22.解:(1)∵,∴,即,
又,∴,∴或,
∴曲线的普通方程为(或).
∵,∴,∴,即曲线的直角坐标方程为.
(2)由得,
∴(舍去),,
则交点的直角坐标为,极坐标为.
23.解:(1)由,得或或,
解得,故不等式的解集为.
(2),
作出函数的图象,如图所示,
直线过定点,
当此直线经过点时,;
当此直线与直线平行时,.
故由图可知,.