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www.ks5u.com 黔东南州2018届高三第一次模拟考试 理科数学试卷 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.对于复数，若，则（ ）‎ A．0 B．2 C．-2 D．-1‎ ‎3.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数（万人次）的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中，错误的是（ ）‎ A．旅游总人数逐年增加 B．2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和 C．年份数与旅游总人数成正相关 D．从2014年起旅游总人数增长加快 ‎4.在等差数列中，若，则（ ）‎ A．9 B．8 C．6 D．3‎ ‎5.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是（ ）‎ A．3步 B．6步 C．4步 D．8步 ‎7.在展开式中存在常数项，则正整数可以是（ ）‎ A．2017 B．2018 C．2019 D．2020‎ ‎8.执行如图的程序框图，当输入的时，输出的（ ）‎ A．355 B．354 C．353 D．352‎ ‎9.给出函数，点，是其一条对称轴上距离为的两点，函数的图象关于点对称，则的面积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为.点到的准线的距离与之积为25，则 ‎（ ）‎ A．40 B．30 C．25 D．20‎ ‎11.已知、，如果函数的图象上存在点，使，则称是线段的“和谐函数”.下面四个函数中，是线段的“和谐函数”的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12.在中，角、、所对的边分别为、、.、是线段上满足条件，的点，若，则当角为钝角时，的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. ‎ ‎13.若实数，满足，则的最大值是 ．‎ ‎14.已知函数有唯一零点，如果它的零点在区间内，则实数的取值范围是 ．‎ ‎15.已知、分别是棱长为2的正方体的内切球和外接球上的动点，则线段长度的最小值是 ．‎ ‎16.已知点是双曲线：右支上一点，的左、右顶点分别为、，的右焦点为，记，，当，且时，双曲线的离心率 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.各项均为正数的等比数列的前项和为.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.‎ ‎18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这8名导游中随机选择4人 参加比赛.‎ ‎（Ⅰ）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率.‎ ‎（Ⅱ）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图所示，在三棱锥中，平面，，，、分别为线段、上的点，且，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为.动直线：经过点，且是等腰直角三角形.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线交于、两点，若点在以线段为直径的圆外，求实数的取值范围.‎ ‎21.函数在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数，的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ），成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标系，圆极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）当时，求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线与圆的交点为、，证明：是与无关的定值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ），，求实数的取值范围.‎ 黔东南州2018届高三第一次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5: CCBAD 6-10: BCBBA 11、12：DA ‎1.解：由，故．‎ ‎2.解：由得．‎ ‎3.解：从图表中看出，选项明显错误．‎ ‎4.解：设的公差为，由得，则．‎ ‎5.解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为．‎ ‎6.解：由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)．‎ ‎7.解：通项，‎ 依题意得．故是的倍数，只有选项符合要求．‎ ‎8.解：①，则，，‎ 成立，，；‎ ②成立，，；‎ ③成立，，；‎ ④不成立，所以输出.故选．‎ ‎9.解：本题抓住一个主要结论——函数的最小正周期为，则点到直线距离的最 小值为，从而得到面积的最小值为，故选．‎ ‎10.解：由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线的距离为 ，则有，故．‎ ‎11.解：由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”与直线有公共点有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选．‎ ‎12.解：依题意知、分别是线段上的两个三等分点，则有， ，‎ 则，而，‎ 则，得，‎ 由为钝角知，又，‎ 则有，故选．‎ 二、填空题 ‎13.解：本题考查线性规划，答案为．‎ ‎14.解：因为在上单调递增，所以．‎ ‎15.解：依题意知，该正方体的内切球半径为，外接球的半径为，且这两个球同心，则线段长度的最小值是．‎ ‎16.解：由已知得，，则 又，则有或（舍）．‎ 三、解答题 ‎17.解：(Ⅰ)设的公比为，由，得 ‎， ‎ 于是，解得（不符合题意，舍去）‎ 故．‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)得，则，‎ 则…‎ ‎．‎ ‎18.解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；‎ 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则 ‎，所以事件发生的概率为.‎ ‎(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4． ‎ ‎，，‎ ‎，． ‎ 所以,随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 则随机变量的数学期望（人）．‎ ‎19.(Ⅰ)证明：由平面，平面，故 由，得为等腰直角三角形，故 又，故平面． ‎ ‎ (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，‎ 过作垂直于，易知又已知，故 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则 则有，． ‎ 设平面的法向量为，则有 ‎，可取；‎ 因为平面，所以平面的法向量可取． ‎ 则． ‎ 而二面角为锐二面角，故其余弦值为． ‎ ‎20.解：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，‎ 又是等腰直角三角形，所以所以 故椭圆的标准方程为． ‎ ‎(Ⅱ) 设，，将与联立消得 ‎．，‎ 点在以线段为直径的圆外等价于，‎ ‎，解得故实数的取值范围是．‎ ‎21. 解：(Ⅰ)， ‎ 依题意得，，则有 ‎．‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)得，，‎ 由于在区间上为增函数，且，‎ 则当时，；当时，，‎ 故函数的减区间是，增区间是． ‎ ‎(Ⅲ) 因为，‎ 于是构造函数，‎ ‎，成立，等价于，‎ 由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．‎ 即（当且仅当时取等号）‎ 所以函数，又时，，‎ 所以． …（11分）故的取值范围是． ‎ ‎22. 解：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数），‎ 消去得．由圆极坐标方程为，得．‎ 故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为． ‎ ‎ (Ⅱ)将代入得， ．‎ 设其两根分别为，则．‎ 由的几何意义知．故为定值(与无关) .‎ ‎23. 解：(Ⅰ)，‎ 由解得，‎ 故不等式的解集为．‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：‎ 在区间为减函数，在区间上为增函数，‎ 而，‎ 故在区间上，，．‎ ‎ 由．‎ 所以且，‎ 于是且，‎ 故实数的取值范围是． ‎ 黔东南州2018届高三第一次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 1． 解：由，故．‎ 2． 解：由得．‎ 3． 解：从图表中看出，选项明显错误．‎ 4． 解：设的公差为，由得，则．‎ 5． 解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为．‎ 6． 解：由于该直角三角形的两直角边长分别是和，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为，则有(等积法)，解得，故其直径为(步)．‎ 7． 解：通项，‎ 依题意得．故是的倍数，只有选项符合要求．‎ 8． 解：①，则，，‎ 成立，，；‎ ②成立，，；‎ ③成立，，；‎ ④不成立，所以输出.故选．‎ 9． 解：本题抓住一个主要结论——函数的最小正周期为，则点到直线距离的最小值为，从而得到面积的最小值为，故选．‎ 10． 解：由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线的距离为 ，则有，故 ‎．‎ 1． 解：由于线段的垂直平分线方程为，则函数是线段的“和谐函数”与直线有公共点有零点．利用函数的导函数的性质，经检验知，只有函数的图像上存在点满足上上述条件，故选．‎ 2． 解：依题意知、分别是线段上的两个三等分点，则有， ，则，而，则，得，由为钝角知，又，则有，故选．‎ 二、填空题 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 3． 解：本题考查线性规划，答案为．‎ 4． 解：因为在上单调递增，所以．‎ 5． 解：依题意知，该正方体的内切球半径为，外接球的半径为，且这两个球同心，则线段长度的最小值是．‎ 6． 解：由已知得，，则 又，则有或（舍）．‎ 三、解答题 7． 解：(Ⅰ)设的公比为，由，得 ‎， …………………………………………………（2分）‎ 于是，解得（不符合题意，舍去） ……………（4分）‎ 故． …………………………………………………（6分）‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ， ……（8分）则，‎ 则… ………（10分）‎ ‎．　…………（12分）‎ 1． 解：(Ⅰ)由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；‎ 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则 ……………（2分）‎ ‎，所以事件发生的概率为. ……（6分）‎ ‎(Ⅱ)随机变量的所有可能取值为1，2，3，4． ……………………………（7分）‎ ‎，，‎ ‎，． ………………（11分）‎ 所以,随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 则随机变量的数学期望（人）．……（12分）‎ 2． ‎(Ⅰ)证明：由平面，平面，故 由，得为等腰直角三角形，故 又，故平面． ……………（6分）‎ ‎ (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，为等腰直角三角形，‎ 过作垂直于，易知又已知，故（7分）‎ 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则 则有，． ‎ 设平面的法向量为，则有 ‎，可取；‎ 因为平面，所以平面的法向量可取．…………（9分）‎ 则． …………………………………………（11分）‎ 而二面角为锐二面角，故其余弦值为． ………………（12分）‎ 1． 解：(Ⅰ) 因为直线经过点，所以，‎ 又是等腰直角三角形，所以所以 故椭圆的标准方程为． ……………………………………………（5分）‎ ‎(Ⅱ) 设，，将与联立消得 ‎． ………（8分）‎ 点在以线段为直径的圆外等价于，‎ ‎，解得故实数的取值范围是．…（12分）‎ ‎21. 解：(Ⅰ)， …………………………………………………（1分）‎ 依题意得，，则有 ………………………………（2分）‎ ‎． …………………………………………………（4分）‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)得，，‎ 由于在区间上为增函数，且，‎ 则当时，；当时，，‎ 故函数的减区间是，增区间是．……………………………（8分）‎ ‎(Ⅲ) 因为，‎ 于是构造函数，‎ ‎，成立，等价于………………（9分）‎ 由(Ⅱ)知当时，，即对恒成立．‎ 即（当且仅当时取等号）‎ 所以函数，又时，，‎ 所以． …（11分）故的取值范围是． …（12分）‎ ‎22. 解：(Ⅰ)当时，的参数方程为（为参数）‎ 消去得．由圆极坐标方程为，得．‎ 故直线的普通方程为圆的直角坐标方程为． ……（5分）‎ ‎ (Ⅱ)将代入得， ．‎ 设其两根分别为，则．‎ ‎ 由的几何意义知．故为定值(与无关)（10分）‎ ‎23. 解：(Ⅰ)，‎ 由解得，‎ 故不等式的解集为． ……………………………………………（5分）‎ ‎ (Ⅱ) 由(Ⅰ)及一次函数的性质知：‎ 在区间为减函数，在区间上为增函数，‎ 而，‎ 故在区间上，，．‎ ‎ 由．‎ 所以且，‎ 于是且，‎ 故实数的取值范围是． …………………………………………………（10分）‎