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难题突破专题六　平行四边形存在性问题 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点”．解这类题目的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断．‎ 类型1　已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形 ‎1 如图Z6－1，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？‎ 图Z6－1‎ ‎ 例题分层分析 ‎ ‎(1)符合条件的点D有________个．‎ ‎(2)如何进行分类？‎ ‎2 如图Z6－2，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N.‎ 图Z6－2‎ ‎(1)直接写出点A，C，N的坐标．‎ ‎(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 例题分层分析 ‎ ‎(1)分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数表达式即可求得顶点M的坐标，‎ 然后求出直线CM直线的函数表达式便可求得点N的坐标．‎ ‎(2)根据例1的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数表达式验证得符合条件的点P.‎ ‎ 解题方法点析 ‎ 已知三定点，探求第四个点，使之构成平行四边形，可以按对角线进行分类，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，再验证是否符合限制条件．‎ 类型2　已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形 ‎3 如图Z6－3，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.‎ 图Z6－3‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式．‎ ‎(2)求点D的坐标．‎ ‎(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ 例题分层分析 ‎ ‎(1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式____________，将________的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数表达式．‎ ‎(2)设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数表达式，与____________联立即可求出点D的坐标．‎ ‎(3)存在，分两种情况考虑：‎ ‎①若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥________，MD＝________；‎ ‎②若AD为平行四边形的一边，则MN∥________，MN＝________，此时通过画图可知有两种情况．‎ ‎4 如图Z6－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式．‎ ‎(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图Z6－4‎ ‎(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．‎ ‎ 例题分层分析 ‎ ‎(1)由C(0，4)，A(－2，0)和对称轴x＝1可得三个关系式，分别是①__________，②__________，③________，然后联立①②③，即可求得a，b，c，从而得到函数表达式．‎ ‎(2)假设存在满足条件的点F，连结BF，CF，OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.设点F的横坐标为t，则点F的坐标可表示为________，然后分别用t表示出△OBF，△OFC的面积，而△AOC的面积为________，然后根据四边形的面积为17，得到关于t的方程，解该方程即可判断是否存在符合条件的点F.‎ ‎(3)先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式为________，再求出抛物线的顶点坐标为________，由点E在直线BC上，得到点E的坐标为________，从而求得DE＝________．若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，所以只需DE＝PQ.设点P的横坐标是m，则可表示出点P的坐标为______________，点Q的坐标是______________，然后再进行分类讨论．①当0＜m＜4时，PQ＝________________，②当m＜0或m＞4时，PQ＝______________，再根据DE＝PQ，即可得到关于m的方程，从而求得符合条件的点P的坐标．‎ ‎ 解题方法点析 ‎ 对于两个定点、两个动点的问题，一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，用该未知数表示另一个动点的坐标，最后再根据动点应满足的条件，求出相应点的坐标．‎ 专 题 训 练 ‎1．[2017·临沂] 如图Z6－5，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.‎ ‎(1)求抛物线的解析式．‎ ‎(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．‎ ‎(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图Z6－5‎ ‎2．[2017·泰安] 如图Z6－6，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C.‎ ‎(1)求抛物线的函数表达式．‎ ‎(2)若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标．‎ ‎(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y＝x＋的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，则这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．‎ 图Z6－6‎ ‎3.[2017·宜宾] 如图Z6－7，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式．‎ ‎(2)在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连结AC，且AD＝5，CD＝8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位长度，当点C落在抛物线上时，求m的值．‎ ‎(3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上时记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究在抛物线上是否存在点Q，使以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图Z6－7‎ ‎4．[2017·齐齐哈尔] 如图Z6－8，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E.矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋32＝0的两个根，且OA>OC.‎ ‎(1)求线段OA，OC的长．‎ ‎(2)证明△ADE≌△COE，并求出线段OE的长．‎ ‎(3)直接写出点D的坐标．‎ ‎(4)若F是直线AC上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P，使以点E，C，P，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图Z6－8‎ 参考答案 类型1　已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形 例1　【例题分层分析】‎ ‎(1)3　(2)分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线．‎ 解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．‎ 例2　【例题分层分析】‎ ‎(1)y＝0　x＝0‎ 解：(1)A(－1，0)，C(0，－3)，N(－3，0)．‎ ‎(2)存在．若AC为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(2，－3)；若AN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－4，3)；若CN为平行四边形的对角线，则点P的坐标为(－2，－3)．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P(2，－3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P，点P的坐标为(2，－3)．‎ 类型2　已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形 例3　【例题分层分析】‎ ‎(1)y＝a(x－2)2＋3　点A ‎(2)抛物线的函数表达式 ‎(3)AD　AD　AN　AN 解：(1)设抛物线的顶点为E，根据题意，得E(2，3)．‎ 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋3，‎ 将(4，0)代入，得0＝‎4a＋3，即a＝－，‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3＝－x2＋3x.‎ ‎(2)设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，‎ 将(4，0)，(0，3)代入，‎ 得解得 故直线AC的函数表达式为y＝－x＋3，‎ 将直线AC的函数表达式与抛物线的函数表达式联立，‎ 得解得或 ‎∴点D的坐标为.‎ ‎(3)存在，分两种情况考虑：‎ Ⅰ.若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥AN，MD＝AN.‎ 由对称性得到M1，即DM1＝2，故AN1＝2，‎ ‎∴点N1的坐标为(2，0)．‎ Ⅱ.若AD为平行四边形的一边，则MN∥AD，MN＝AD.‎ ‎①当点M在x轴上方时，如图①所示．‎ 由Ⅰ知AN2＝2，‎ ‎∴点N2的坐标为(6，0)．‎ ‎②当点M在x轴下方时，如图②所示，过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M3作M3P⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△N‎3M3‎P，‎ ‎∴M3P＝DQ＝，N3P＝AQ＝3，‎ ‎∴点M3的纵坐标为－.‎ 将yM＝－代入抛物线的函数表达式，得－＝－x2＋3x，解得xM＝2－或xM＝2＋，‎ ‎∴xN＝xM－3＝－－1或－1，‎ ‎∴N3，N4( －1，0)．‎ 综上所述，满足条件的点N有4个，N1(2，0)，N2(6，0)，N3(－－1，0)，N4( －1，0)．‎ 例4　【例题分层分析】‎ ‎(1)①c＝4　②0＝‎4a－2b＋c　③b＝－‎‎2a ‎(2)(t，－t2＋t＋4)　4‎ ‎(3)y＝－x＋4　(1，)　(1，3)　　(m，－m＋4)　(m，－m2＋m＋4)　(－m2＋m＋4)－(－m＋4)＝－m2＋‎2m　(－m＋4)－(－m2＋m＋4)＝m2－‎‎2m 解：(1)由抛物线经过点C(0，4)可得c＝4，①‎ ‎∵对称轴为直线x＝－＝1，‎ ‎∴b＝－‎2a，②‎ 又抛物线经过点A(－2，0)，‎ ‎∴0＝‎4a－2b＋c，③‎ 由①②③得a＝－，b＝1，c＝4，‎ ‎∴抛物线的函数表达式是y＝－x2＋x＋4.‎ ‎(2)假设存在满足条件的点F，如图所示，连结BF，CF，OF.过点F分别作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.‎ 设点F的坐标为(t，－t2＋t＋4)，其中0＜t＜4，‎ 则FH＝－t2＋t＋4，FG＝t，‎ ‎∴S△OBF＝OB·FH＝×4×(－t2＋t＋4)＝－t2＋2t＋8，‎ S△OFC＝OC·FG＝×4×t＝2t，‎ ‎∴S四边形ABFC＝S△AOC＋S△OBF＋S△OFC＝4－t2＋2t＋8＋2t＝－t2＋4t＋12.‎ 令－t2＋4t＋12＝17，‎ 即t2－4t＋5＝0，则判别式＝(－4)2－4×5＝－4＜0，‎ ‎∴方程t2－4t＋5＝0无解，故不存在满足条件的点F.‎ ‎(3)设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b′(k≠0)，‎ ‎∵直线经过点B(4，0)，C(0，4)，‎ ‎∴解得 ‎∴直线BC的函数表达式是y＝－x＋4.‎ 由y＝－x2＋x＋4＝－(x－1)2＋，得D(1，)．‎ ‎∵点E在直线BC上，‎ ‎∴点E的坐标为(1，3)，于是DE＝－3＝.‎ 若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，∵DE∥PQ，∴只需DE＝PQ.‎ 设点P的坐标是(m，－m＋4)，‎ 则点Q的坐标是(m，－m2＋m＋4)．‎ ‎①当0＜m＜4时，PQ＝(－m2＋m＋4)－(－m＋4)＝－m2＋‎2m，‎ 由－m2＋‎2m＝，解得m＝1或3.‎ 当m＝1时，线段PQ与DE重合，m＝1舍去，‎ ‎∴m＝3，此时P1(3，1)．‎ ‎②当m＜0或m＞4时，PQ＝(－m＋4)－(－m2＋m＋4)＝m2－‎2m，由m2－‎2m＝，‎ 解得m＝2±，‎ 经检验符合题意，此时P2(2＋，2－)，P3(2－，2＋)．‎ 综上所述，满足条件的点P有3个，分别是P1(3，1)，P2(2＋，2－)，P3(2－，2＋)．‎ 专题训练 ‎1．解：(1)令x＝0，由y＝ax2＋bx－3得y＝－3，‎ ‎∴C(0，－3)，∴OC＝3.‎ 又∵OC＝3OB，∴OB＝1，‎ ‎∴B(－1，0)．‎ 把点B(－1，0)和A(2，－3)的坐标分别代入y＝ax2＋bx－3，‎ 得 解得 ‎∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.‎ ‎(2)过点B作BE⊥x轴，交AC的延长线于点E.‎ ‎∵∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°，‎ ‎∴Rt△BDO∽Rt△BAE，‎ ‎∴OD∶OB＝AE∶BE，‎ ‎∴OD∶1＝3∶3，‎ ‎∴OD＝1，‎ ‎∴D点坐标为(0，1)或(0，－1)．‎ ‎(3)存在．M1(0，－3)；M2(－2，5)；M3(4，5)．‎ ‎2．解：(1)由题意，设抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋k，‎ 把(－1，0)代入，得0＝－(－1－1)2＋k，解得k＝4，‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.‎ ‎(2)当x＝0时，y＝－(0－1)2＋4＝3，‎ ‎∴点C的坐标是(0，3)，∴OC＝3.‎ ‎∵点B的坐标是(3，0)，∴OB＝3，‎ ‎∴OC＝OB，则△OBC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠OCB＝45°.‎ 过点N作NH⊥y轴，垂足为H.‎ ‎∵∠NCB＝90°，∴∠NCH＝45°，∴NH＝CH，‎ ‎∴HO＝OC＋CH＝3＋CH＝3＋NH，‎ 设点N为(a，－a2＋‎2a＋3)，‎ ‎∴a＋3＝－a2＋‎2a＋3，‎ 解得a＝0(舍去)或a＝1，‎ ‎∴点N的坐标是(1，4)．‎ ‎(3)∵四边形OAPQ是平行四边形，‎ ‎∴PQ＝OA＝1，且PQ∥OA.‎ 设P(t，－t2＋2t＋3)，则Q(t＋1，－t2＋2t＋3)．‎ 将点Q(t＋1，－t2＋2t＋3)代入y＝x＋，得－t2＋2t＋3＝(t＋1)＋，‎ 整理得2t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝，‎ ‎∴－t2＋2t＋3的值为3或，‎ ‎∴P，Q的坐标分别是(0，3)，(1，3)或(，)，(，)．‎ ‎3．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(5，0)两点，‎ ‎∴解得 ‎∴y＝－x2＋4x＋5.‎ ‎(2)∵点C的纵坐标为8，∴令－x2＋4x＋5＝8，‎ 解得x1＝1，x2＝3，‎ 当x＝1时，m＝1－(－6)＝7；当x＝3时，m＝3－(－6)＝9.‎ 综上所述，将△ADC沿x轴向右平移7个或9个单位长度时，点C落在抛物线上．‎ ‎(3)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x＝2，‎ 即点P的横坐标为xP＝2，由(2)得点E(1，8)．‎ 若以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，‎ 则分两类情况讨论：‎ ‎①以BE为一边的平行四边形，如图①，②，则＝4，‎ 解得xQ＝6或xQ＝－2，∴Q(6，－7)或Q(－2，－7)；‎ ‎②以BE为对角线的平行四边形，如图③，‎ 则xQ＝xB＋xE－xP＝5＋1－2＝4，∴Q(4，5)．‎ 综上所述，使得以点B，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形的点Q的坐标为(6，－7)或(－2，－7)或(4，5)．‎ ‎4．解：(1)解x2－12x＋32＝0得x1＝8，x2＝4.‎ ‎∵边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2－12x＋32＝0的两个根，且OA>OC，‎ ‎∴OA＝8，OC＝4.‎ ‎(2)∵把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，‎ ‎∴AD＝AB＝CO，∠ADE＝∠ABC＝∠COE，‎ 又∵∠AED＝∠CEO，‎ ‎∴△ADE≌△COE(AAS)，‎ ‎∴CE＝AE＝OA－OE＝8－OE.‎ 在Rt△OEC中，由勾股定理得OE2＋OC2＝CE2，‎ 即OE2＋42＝(8－OE)2，‎ ‎∴OE＝3.‎ ‎(3)如图所示，作DM⊥x轴于点M，‎ 则△COE∽△CMD，‎ ‎∴＝＝，‎ 即＝＝，‎ ‎∴OM＝，DM＝，‎ ‎∴点D的坐标为(－，)．‎ ‎(4)存在．‎ 如图①所示，点P的坐标为(，)；‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ 如图②所示，点P的坐标为(4，5)；‎ 如图③所示，点P的坐标为P3(，3－2 )；‎ ‎ ‎ ‎③ ④‎ 如图④所示，点P的坐标为P4(－，3＋2 )．‎