三角形的证明
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）．
A. 6，8，10 B. 8，15，17 C. 1，3，2 D. 2，2，23
【答案】D
2. 如图，P为△ABC外部一点，D，E分别在AB，AC的延长线上，若点P到BC，BD，CE的距离都相等，则关于点P的说法最佳的是( )
A. 在∠DBC的平分线上 B. 在∠BCE的平分线上
C. 在∠BAC的平分线上 D. 在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上
【答案】D
3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论中：
①AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；
②AD上任一点到AB，AC的距离相等；
③∠BDE＝∠CDF；
④∠1＝∠2.
正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
4、到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条高线的交点
C. 三条边的中线的交点 D. 三条角平分线的交点
【答案】A
5. 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A. AB=2BD B. AD⊥BC C. AD平分∠BAC D. ∠B=∠C
【答案】A
6. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A. 70° B. 20° C. 70°或20° D. 40°或140°
【答案】C
7.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（ ）
A. 6 B. 3 C. 9 D. 12
【答案】C
8如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A. 在AC、BC两边高线的交点处 B. 在AC、BC两边中线的交点处
C. 在∠A、∠B两内角平分线的交点处 D. 在AC、BC两边垂直平分线的交点处
【答案】D
9.如图， ， ，OD平分，则的度数是（）
A. B. C. D.
【答案】A
10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.等腰三角形的底角是50°，则顶角的度数为__________
【答案】80°
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D，AC=4cm，CB=8cm，△ACE的周长是_____．
【答案】12cm
13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M在AB上，且∠ACM＝∠BAC，则CM的长为_______．
【答案】；
14.等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于__________.
【答案】15或18
15.如图，在中， ， ， 平分，则的度数是__________．
【答案】
16. 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC＝_______．
【答案】3:2；
17如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE= ．
【答案】71°．
18. 等边三角形是一个轴对称图形，它有 条对称轴．
【答案】3
19. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是 ．
【答案】62°或118°
20.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为 ．
【答案】32
【解析】
三、解答题
21. （7分）已知如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，求∠AOD的度数．
【答案】110°
22. （7分）尺规作图：如图所示，直线、、为围绕区域的三条公路，为便于公路维护，需在区域内筹建一个公路养护处，要求到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】
23.（7分）如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：OC平分∠ACD.
试题解析：过点O作OE⊥AC，∴OE=OB 又∵点O为BD的中点 ∴OB=OD，
∴OE=OD， ∴OC平分∠ACD．
24. （7分）在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=AD，求∠A的度数．
【答案】∠A=36°
25. （10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E．求证：CE=AB．
【答案】证明略．
26. （10分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．
①用含x的代数式表示∠EOF;
②求∠AOC的度数．
【答案】（1）55°；（2）①∠FOE=x;②100°．
27. （12分）如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）求证：∠PCD＝∠PDC；
（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线.
试题解析：
（1）∵OP是∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC；
（2）∵OP是∠AOB的角平分线，
∴∠COP＝∠DOP，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
∴点O在CD的垂直平分线上，
∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，
∴OP是CD的垂直平分线.
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