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仿真考(三) 高考仿真模拟冲刺卷(C)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2018·辽宁盘锦月考)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|x2－5x＋4b>0)的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为
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的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：|PA|2＋|PB|2为定值．
解析：(1)由题意可得方程组解得故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明：设l的方程为x＝y＋m，代入＋＝1，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－m，y1y2＝.
又∵|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，同理，|PB|2＝y，
∴|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝＝41.
∴|PA|2＋|PB|2为定值．
21．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝(a∈R)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.
(1)求实数a的值，并求f(x)的最大值；
(2)是否存在k∈Z，使得kx>f(x)＋2对任意x>0恒成立？若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．
解析：(1)f′(x)＝(x>0)．∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，
∴f′(1)＝＝1，解得a＝0.∴f(x)＝，
f′(x)＝，
当x>e时，f′(x)0恒成立，则k>＋，
记g(x)＝＋，只需k>g(x)max.
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g′(x)＝－＝，
记h(x)＝1－2x－2lnx(x>0)，则h′(x)＝－2－0，h(x)在上连续，
∴存在唯一的x0∈，使得h(x0)＝0，即1－2x0－2lnx0＝0，
当x>0时，h(x)、g′(x)、g(x)的变化情况如下：
x
(0，x0)
x0
(x0，＋∞)
h(x)
＋
0
－
g′(x)
＋
0
－
g(x)
极大值
∴g(x)max＝g(x0)＝，
又1－2x0－2lnx0＝0，∴2x0＋2lnx0＝1，
∴g(x0)＝＝＝2＋，
∵x0∈，∴∈(1，)，∴f(x)＋2对任意x>0恒成立．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)
(2017·新课标全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB
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面积的最大值．
解析：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.
23．(本小题满分10分)
(2018·洛阳二模)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m>0)．
(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若对任意实数x，t，不等式f(x)
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