圆中线段和角的计算与证明高分技巧课后练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 与圆有关的综合问题突破专项练习 ‎1. 如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC。‎ ‎（1）如图①，若∠BPC=60°，求证：AC=AP；‎ ‎（2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值。‎ ‎2. 如图，在⊙的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.‎ ‎（1）求证：△PAC∽△PDF；‎ ‎（2）若AB=5，=，求PD的长；‎ ‎（3）在点P运动过程中，设，，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）‎ ‎3. 如图，已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，=，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF。‎ ‎（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧的长；‎ ‎（2）求证：BF=BD；‎ ‎（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 与圆有关的综合问题突破专项练习 参考答案 ‎1. （1）证明：∵∠BPC=60°， ‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=60°，‎ ‎∴∠APC=∠ABC=60°，‎ 而点P是的中点，‎ ‎∴∠ACP=∠ACB=30°，‎ ‎∴∠PAC=90°，‎ ‎∴tan∠PCA==tan30°=，‎ ‎∴AC=PA。 ‎ ‎（2）解：过A点作AD⊥BC交BC于D，连接OP交AB于E，如图②，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AD平分BC，‎ ‎∴点O在AD上，‎ 连接OB，则∠BOD=∠BAC，‎ ‎∵∠BPC=∠BAC，‎ ‎∴sin∠BOD=sin∠BPC=， ‎ 设OB=25x，则BD=24x，‎ ‎∴OD==7x， ‎ 在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，‎ ‎∴AB==40x， ‎ ‎∵点P是的中点，‎ ‎∴OP垂直平分AB，‎ ‎∴AE=AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，‎ 在Rt△AEO中，OE==15x， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴PE=OP-OD=25x-15x=10x，‎ 在Rt△APE中，tan∠PAE=， ‎ 即tan∠PAB的值为。‎ ‎2.（1）证明：由四边形APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，‎ 又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，‎ ‎∴∠APD＝∠FPC。‎ ‎∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD。‎ 又∵∠PAC＝∠PDC，‎ ‎∴△PAC∽△PDF。‎ ‎（2）解：如图，连接BP，设BC=a，‎ ‎∵∠ACB=90°，AB=5，AC=2BC ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵△ACE∽△ABC，‎ ‎∴即。‎ ‎∴.‎ ‎∵AB⊥CD，∴。‎ ‎∵，‎ ‎∴△APB是等腰直角三角形. ‎ ‎∴∠PAB＝45°，。‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形. ‎ ‎∴EF=AE=4，∴DF=6.‎ 由（1）△PAC∽△PDF得，即。‎ ‎∴PD的长为。‎ ‎（3）如图，连接BP，BD，AD，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AC=2BC，‎ ‎∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即。‎ ‎∵AB⊥CD，BP⊥AP，‎ ‎∴∠ABP＝∠AFD。‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵△AGP∽△DGB，‎ ‎∴。‎ ‎∵△AGD∽△PGB，‎ ‎∴。‎ ‎∴，即。‎ ‎∵，‎ ‎∴。‎ ‎∴与之间的函数关系式为。‎ ‎3. （1）解：连接OB，OD，‎ ‎∵∠DAB=120°，∴所对圆心角的度数为240°，‎ ‎∴∠BOD=120°，‎ ‎∵⊙O的半径为3，‎ ‎∴劣弧的长为：×π×3=2π； ‎ ‎（2）证明：连接AC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AB=BE，∴点B为AE的中点，‎ ‎∵F是EC的中点，∴BF为△EAC的中位线，‎ ‎∴BF=AC，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴BD=AC，‎ ‎∴BF=BD；‎ ‎（3）解：过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P，‎ ‎∵BF为△EAC的中位线，‎ ‎∴BF∥AC，‎ ‎∴∠FBE=∠CAE，‎ ‎∵，‎ ‎∴∠CAB=∠DBA，‎ ‎∵由作法可知BP⊥AE，‎ ‎∴∠GBP=∠FBP，‎ ‎∵G为BD的中点，‎ ‎∴BG=BD，‎ ‎∴BG=BF，‎ 在△PBG和△PBF中，‎ ‎， ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴△PBG≌△PBF（SAS），‎ ‎∴PG=PF。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费