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旋转及其应用难点突破专项练习
1. 阅读下列材料:
小明遇到一个问题:5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示,将它们分割后拼接成一个新的正方形。
他的做法是:按图2所示的方法分割后,将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处,依此方法继续操作,即可拼接成一个新的正方形DEFG。
请你参考小明的做法解决下列问题:
(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片,排列形式如图3所示。请将其分割后拼接成一个平行四边形。要求:在图3中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可);
(2)如图4,在面积为2的平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点,分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ。
请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)。
2. 数学活动课上,老师提出这样一个问题:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,连接PB,那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢?
经过思考后,部分同学进行了如下的交流:
小蕾:我将图形进行了特殊化处理,让点P在BA延长线上(如图1),得到了一个猜想:PA2+PC2=PB2 。
小东:我假设点P在∠ABC的内部,根据题目条件,这个图形具有“共端点等线段”的特点,可以利用旋转解决问题,旋转△PAB 后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP′ 分别是等边三角形、直角三角形,就能得到猜想和证明方法。
这时老师对同学们说,请大家完成以下问题:
(1)如图2,点P在∠ABC的内部,
①PA=4,PC=,PB= 。
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②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系,并证明。
(2)对于点P的其他位置,是否始终具有②中的结论?若是,请证明;若不是,请举例说明。
3. (1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE。求证:CE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD。
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面积。
[来源:学科网]
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旋转及其应用难点突破专项练习
参考答案
1. 解:
(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图3)。[来源:学科网]
(2)正确画出图形(如图4),平行四边形MNPQ的面积为。
2.(1)①;
②。 [来源:学|科|网Z|X|X|K]
证明:如图,作∠PBP′=∠ABC=60°,且使BP′=BP,连接P′C、P′P。
∴∠1=∠2。
∵AB=CB,
∴△ABP≌△CBP′。
∴PA=P′C,∠A=∠BCP′。
在四边形ABCP中,
∵∠ABC=60°,∠APC=30°,
∴∠A+∠BCP=270°。
∴∠BCP′+∠BCP=270°。
∴∠PCP′=360°-(∠BCP′+∠BCP)=90°。
∵△PBP′是等边三角形。
∴PP′=PB。
在Rt△PCP′中,,
∴。
(2)点P在其他位置时,不是始终具有②中猜想的结论,举例如下:
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如图,当点P在CB的延长线上时,
结论为。
3. (1)证明:在正方形ABCD中,
∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,
∴△CBE≌△CDF。
∴CE=CF。
(2)证明:如图2,延长AD至F,使DF=BE,连接CF。
由(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF。
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°。
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴△ECG≌△FCG,
∴GE=GF,
∴GE=DF+GD=BE+GD。
(3)解:如图3,过C作CG⊥AD,交AD延长线于点G。
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,∴∠A=∠B=90°,
又∠CGA=90°,AB=BC,
∴四边形ABCD 为正方形。 [来源:Z,xx,k.Com]
∴AG=BC。
已知∠DCE=45°,
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根据(1)(2)可知,ED=BE+DG。
所以10=4+DG,即DG=6。
设AB=x,则AE=x-4,AD=x-6
在Rt△AED中,∵,即。
解这个方程,得:x=12,或x=-2(舍去)。
∴AB=12。
所以直角梯形ABCD的面积为S=。
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