2018高考高三数学3月月考模拟试题04
一、选择题（本大题共道小题，每道小题分，共分）
1.已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．设全集则是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3.已知三条直线，，，若关于的对称直线与垂直，则实数的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．下列有关命题的说法正确的是（ ）
（A）命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
（B）“”是“”的必要不充分条件．
（C）命题“存在使得”的否定是：“对任意 均有”．
（D）命题“若，则”的逆否命题为真命题．
5.已知三棱锥的主视图与俯视图如下图，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（ ）
6．函数的一部分图象如图所示，则（ ）
（A）（B）
（C）（D）
开始
输入
结束
输出
是
否
7.已知，,若为满足的一随机整数，则是直角三角形的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8.在如右程序框图中，若，则输出的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
9.双曲线的一个焦点为，顶点为，是双曲线上任意一点，则分别以线段为直径的两圆一定（ ）
（A）相交 （B）相切
（C）相离 （D）以上情况都有可能
10.设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，，若的最大值为，则的最小值为（ ）
（A） （B） （C）1 （D）4
二、填空题（本大题共道小题，每道小题分，共分）
11.在样本的频率分布直方图中, 共有9个小长方形, 若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为 .
12.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面(点法式)方程为
(请写出化简后的结果).
13.设函数, 若，则实数的取值范围是 .
14.已知数列满足则的最小值为__________.
15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
A.(不等式选做题)若实数满足，则的最大值为 .
B.(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边的长分别为,以为直径的圆与交于点,则 .
C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆的参数方程为，以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标为 .
三、解答题（本大题共道小题，满分分）
16.（本小题分）
已知的前项和为，且.
(Ⅰ)求证：数列是等比数列；
(Ⅱ)是否存在正整数，使成立.
17.（本小题分）已知的最小正周期为.
（Ⅰ）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）在，若,且,求的值.
18.（本小题分）如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．
（Ⅰ）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19.（本小题分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．
（Ⅰ）求甲、乙两人都被分到社区的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；
（Ⅲ）设随机变量为四名同学中到社区的人数，求的分布列和的值．
20.（本小题分）已知平面内的一个动点到直线的距离与到定点的距离之比为，点，设动点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与曲线交于两点．求面积的最大值．
21.（本小题分）已知.
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.
答案
一、选择题（分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
D
B
D
B
C
B
A
二、填空题（分）
11. 36 . 12. .
13.. 14. 21 .
15. A. . B. . C. .
三、解答题（分）
16.（本小题满分12分）
【解析】(Ⅰ)由题意，，，
由两式相减，得，
即，， ………………3分
又，∴，
∴数列是以首项，公比为的等比数列.…………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得. ………………8分
又由，得，
整理得，即， ………………10分
∵，∴，这与相矛盾，
故不存在这样的，使不等式成立. ………………12分
17. （本小题满分12分）
【解析】∵
，………2分
由得，∴. ………4分
（Ⅰ）由得，
∴当时，.………6分
（Ⅱ）由及，得，
而, 所以，解得.………8分
在中，∵,，
∴， ………………10分
∴，解得.
∵，∴. ………………12分
18. （本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）线段的中点就是满足条件的点．………………2分
证明如下：
取的中点连结，则
，，
取的中点，连结，
∵且，
∴△是正三角形，∴．
∴四边形为矩形，
∴．………………4分
又∵，
∴且，四边形是平行四边形．
∴，而平面，平面，∴平面．……6分
（Ⅱ）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，
是平面与平面所成二面角的棱．……8分
∵平面平面，，∴平面，
又∵平面，∴平面，∴，
∴是所求二面角的平面角．………………10分
设，则，，
∴，
∴． ………12分
（法2）∵，平面平面，
∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．
∴，，…………………8分
设平面的法向量为，
则且，
∴∴
解之得
取，得平面的一个法向量为. ………10分
又∵平面的一个法向量为． ……10分
．………12分
19.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）记甲、乙两人同时到社区为事件，那么，
即甲、乙两人同时到社区的概率是． ………………2分
（Ⅱ）记甲、乙两人在同一社区为事件，那么，……………4分
所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是． ……………6分
（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有个同学到社区，
则．………………8分
所以，………………10分
的分布列是：
∴．………………12分
20. （本小题满分13分）
【解析】（Ⅰ）设动点到直线的距离为，则，根据圆锥曲线的统一定义，点的轨迹为椭圆. ………………2分
∵，∴，∴.
故椭圆的方程为. ………………4分
（Ⅱ）若直线存在斜率，设其方程为与椭圆的交点.
将代入椭圆的方程并整理得.
∴． ………………6分
∴
. ………………8分
又点到直线的距离，
∴，……………10分
① 当时，； ②当时，；
③当时，．
若直线的斜率不存在，则即为椭圆的短轴，∴，∴。
综上，的面积的最大值为． ………………13分
21. （本小题满分14分）
【解析】（Ⅰ）.
当单调递减，当单调递增 ……2分
① ，即时，；………………4分
②，即时，在上单调递增，．
所以. ……………………………………6分
（Ⅱ），则，
设，则，………………8分
① 单调递减，② 单调递增，
所以，对一切恒成立，
所以. ………………10分
（Ⅲ）问题等价于证明，
由（Ⅰ）可知的最小值是，当且仅当时取到.…12分
设，则，易知
，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立. ………………14分
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