2018高考高三数学3月月考模拟试题03
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、 （ ）
A. B. C. D.
2、的值为 ( )
A．0 B．1 C． D．
3、有以下四个命题： 其中真命题的序号是 （ ）
①若且，则； ②若且，则；
③若且，则； ④若且，则．
①② ③④ ① ④ ②③
4、设满足约束条件，则取值范围是 （ ）
5、某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：
序号
1
2
3
4
5
6
节目
如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ）
A．192种 B．144种 C．96种 D．72种
6、已知为非零向量，命题，命题的夹角为锐角，则命题是命题的( )
A.充分不必要的条件 B. 既不充分也不必要的条件
C.充要条件 D. 必要不充分的条件
7、已知圆的图象分别交于
的值为 （ ）
8、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过个整点，则称函数为阶整点函数。有下列函数：
① ； ② ③ ④，
其中是一阶整点函数的是( )
A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9、双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为______________
A
B
M
C
D
A1
B1
C1
D1
10、若为等差数列中的第8项，则二项式展开式中常数项是第 项
11、如图，棱长为的正方体中，为中点，
则直线与平面所成角的正切值为 ；
若正方体的八个顶点都在同一球面上，则此球的表面积
为 .
12、在中，分别为三个内角A、B、C所对的边,设向量
，若向量，则角A 的大小为
13、顺义二中对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加个单位，而使得的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入中的某个字母）
14、一种计算装置，有一个数据入口和一个运算出口，执行某种运算程序．
（1）当从口输入自然数时，从口得到实数，记为；
（2）当从口输入自然数时，在口得到的结果是前一结果
倍．当从口输入时，从口得到 ；要想从口得到，则应从口输入自然数 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
(1)、已知函数
若角
（2）函数的图象按向量平移后,得到一个函数g(x)的图象，求g(x)的解析式.
16、（小题满分13分）
如图，直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上，点为线段的中点
（Ⅰ）求边所在直线方程；
（Ⅱ）为直角三角形外接圆的圆心，求圆的方程；
（Ⅲ）若动圆过点且与圆内切，求动圆的圆心的轨迹方程．
17、（本小题13分）
P
A
B
C
D
E
如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，为中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得点到平
面的距离为？若存在，确定点的位置；
若不存在，请说明理由.
18、（本小题满分13分）
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在
下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入袋中的概率；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．
19、（本小题满分14分）
对任意都有
（Ⅰ）求和的值．
（Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；
（Ⅲ）令
试比较与的大小．
20、（本小题14分）
已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求证：（，）．
参考答案
一、选择题 本大题共8小题，每小题5分，共40分。
号题
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
B
D
D
C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
9、 4 ； 10、 9 ； 11、；
12、； 13、 C ; 14、 ，24（第一空2分，第二空3分）
三 、解答题：
15、（1）、由已知条件，得 …………2分
所以……6分
…………9分
…………10分
（2）、 …………13分
16、解（Ⅰ）∵ …………1分
∴ …………3分
∴ …………5分
（Ⅱ）在上式中，令得： …………6分
∴圆心． …………7分
又∵． …………8分
∴外接圆的方程为 …………9分
（Ⅲ）∵
∵圆过点，∴是该圆的半径，
又∵动圆与圆内切，
∴
即．
∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆． …………11分
∴，． …………12分
∴轨迹方程为． …………13分
17、（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ）证明：∵底面为正方形，
∴，又，
∴平面，
∴. ………………2分
同理， ………………4分
∴平面．
………………5分
（Ⅱ）解：设为中点，连结，
又为中点，
可得，从而底面．
过 作的垂线，垂足为,连结．
由三垂线定理有，
∴为二面角的平面角. ………………7分
在中，可求得
∴． ………………9分
∴ 二面角的大小为． ………………10分
P
A
B
C
D
E
M
N
F
G
（Ⅲ）解：由为中点可知,
要使得点到平面的距离为，
即要点到平面的距离为.
过 作的垂线，垂足为,
∵平面，
∴平面平面，
∴平面，
即为点到平面的距离.
∴，
∴． ………………12分
设，
由与相似可得
，
∴，即．
∴在线段上存在点，且为中点，使得点到平面的距离为．
……14分
解法二：
（Ⅰ）证明：同解法一．
（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系， ………………6分
则.
设为平面的一个法向量，
则，．
P
A
B
C
D
E
F
y
x
z
又
令则
得． ………………8分
又是平面的一个法向量，
………………9分
设二面角的大小为 ，
则．
∴ 二面角的大小为． ………………10分
（Ⅲ）解：设为平面的一个法向量，
则，．
又，
令则
得． ………………12分
又
∴点到平面的距离，
∴，
解得，即 .
∴在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且为中点．
………………14分
18、解：（Ⅰ）记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故
，
从而； ………………5分
（Ⅱ）显然，随机变量，故
，
． ………………13分
19、解：（Ⅰ）因为．所以． ……2分
令，得，即． ……………4分
（Ⅱ）
又 ………………5分
两式相加
．
所以， ………………7分
又．故数列是等差数列． ………………9分
（Ⅲ）
………………10分
………………12分
所以 …………………………………………………14分
20、解：（Ⅰ） ，依题意，得，即，.
………………………………2分
∵ ， ∴ . ………………………………3分
（Ⅱ）令，得. ………………………………4分
当时，；
当时，；
当时，.
又，，，.
因此，当时，. ………………………………7分
要使得不等式对于恒成立，则.
所以，存在最小的正整数，使得不等式对于
恒成立. ………………………………9分
（Ⅲ）方法一：
. …………………11分
又∵ ，∴ ，.
∴
. …………………13分
综上可得，（，）.
…………………………14分
方法二：由（Ⅱ）知，函数在 [-1，]上是增函数；在[,]上是减函数；在[，1]上是增函数.
又，，，.
所以，当x∈[-1，1]时，，即.
∵ ，∈[-1，1]，∴ ，.
∴ .
………………………………11分
又∵，∴ ，且函数在上是增函数.
∴ . …………………13分
综上可得，（，）.……………14分
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