2018高考高三数学3月月考模拟试题05
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集，集合，，那么
（A）
（B）
（C）
（D）
2．复数
（A）
（B）
（C）
（D）
3．执行如图所示的程序框图．若输出，则输入
角
（A）
（B）
（C）
（D）
4．设等比数列的公比为，前项和为，且．若，则的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）
视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表
面积是
（A） （B）
（C） （D）
6．设实数，满足条件 则的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
7．已知函数，则“”是“，使”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
8．如图，正方体中，是棱的
中点，动点在底面内，且，则
点运动形成的图形是
（A）线段
（B）圆弧
（C）椭圆的一部分
（D）抛物线的一部分
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量，．若向量与垂直，则实数______．
10．已知函数 则______．
11．抛物线的准线方程是______；该抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，则______．
12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件
的长度数据 (单位：)全部介于至之间．
将长度数据以为组距分成以下组：，
，，，，
，得到如图所示的频率分布直方图．若长
度在内的元件为合格品，根据频率分布直
方图，估计这批产品的合格率是_____．
13．在△中，内角，，的对边边长分别为，，，且．若，则△的面积是______．
14．已知数列的各项均为正整数，其前项和为．若且，
则______；______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数的一个零点是．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设，求的单调递增区间．
16．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，//，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四面体的体积；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使//平面？
证明你的结论．
17．（本小题满分13分）
某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，
超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．
（Ⅰ）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲
停车付费恰为元的概率；
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．
18．（本小题满分13分）
已知函数，，其中．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．
（Ⅰ）若点的横坐标为，求直线的斜率；
（Ⅱ）记△的面积为，△（为原点）的面
积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知集合．
对于，，定义；
；与之间的距离为．
（Ⅰ）当时，设，，求；
（Ⅱ）证明：若，且，使，则；
（Ⅲ）记．若，，且，求
的最大值．
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．C； 7．A； 8．B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．； 10．； 11．，；
12．； 13．； 14．，．
注：11、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，得， ………1分
即 ， ………3分
解得 ． …………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． ……………6分
…………8分
． ………………10分
由 ，
得 ，． …………12分
所以 的单调递增区间为，． ……………13分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在△中，
因为 ，，，
所以 ． ………………2分
又因为 ，
所以 平面． ………………4分
（Ⅱ）解：因为平面，所以．
因为，所以平面． …………6分
在等腰梯形中可得 ，所以．
所以△的面积为 ． ………7分
所以四面体的体积为：． ……9分
（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有// 平面，证明如下：
………10分
连结，与交于点，连接．
因为 为正方形，所以为中点． …………11分
所以 //． ……………12分
因为 平面，平面， ……………13分
所以 //平面．
所以线段上存在点，使得//平面成立． …………14分
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为元”为事件， …………1分
则 ．
所以甲临时停车付费恰为元的概率是． ………4分
（Ⅱ）解：设甲停车付费元，乙停车付费元，其中． …………6分
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：
，共种情形． ………10分
其中，这种情形符合题意． ………12分
故“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为． …………13分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：的定义域为， 且 ． …………2分
① 当时，，故在上单调递增．
从而没有极大值，也没有极小值． ………4分
② 当时，令，得．
和的情况如下：
↘
↗
故的单调减区间为；单调增区间为．
从而的极小值为；没有极大值． ………………6分
（Ⅱ）解：的定义域为，且 ． …………8分
③ 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．
…………9分
④ 当时，，在上单调递减．
当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意． ………11分
当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．
综上，的取值范围是． ………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为． ……1分
将其代入，整理得 ． ………3分
设，，所以 ． ……4分
故点的横坐标为．
依题意，得， …………6分
解得 ． ……7分
（Ⅱ）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直．
由（Ⅰ）可得 ． ……8分
因为 ，
所以 ，
解得 ， 即 ． ………10分
因为 △∽△，
所以 ． ……11分
所以 ， ………12分
整理得 ． ………13分
因为此方程无解，
所以不存在直线，使得 ． ………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当时，由，
得 ，
所以 ． ………3分
（Ⅱ）证明：设，，．
因为 ，使，
所以 ，使得 ，
所以 ，使得 ，其中．
所以 与同为非负数或同为负数． ……6分
所以
． ………8分
（Ⅲ）解法一：．
设中有项为非负数，项为负数．不妨设时；时，．
所以
因为 ，
所以 ， 整理得 ．
所以 ．……10分
因为
；
又 ，
所以
．
即 ． ………12分
对于 ，，有 ，，且，．
综上，的最大值为． ………13分
解法二：首先证明如下引理：设，则有．
证明：因为 ，，
所以 ，
即 ．
所以
． ……11分
上式等号成立的条件为，或，所以 ． ………12分
对于 ，，有 ，，且，．
综上，的最大值为． ……13分
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