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第三节 运动型问题
近几年来，运动型问题常常被列为中考的压轴问题．动点问题属于运动型问题，这类问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．
,中考重难点突破)
动点类
【例1】(梅州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2 cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为t s(0≤t≤5)，连接MN.
(1)若BM＝BN，求t的值；
(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
【解析】(1)由已知条件得出AB＝10，BC＝5.由题意知：BM＝2t，CN＝t，BN＝5－t，由BM＝BN得2t＝5－t，解方程即可；(2)分两种情况：当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；(3)过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD＝t，四边形ACNM的面积y＝△ABC的面积－△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．
【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，
∴AB＝10，BC＝5，BN＝5－t，
由BM＝BN得2t＝5－t，
解得t＝＝10－15；
(2)①当△MBN∽△ABC时，
∴＝，即＝，解得t＝；
②当△NBM∽△ABC时，∴＝，
即＝，解得t＝.
∴当t＝或 s时，△MBN与△ABC相似；
(3)过M作MD⊥BC于点D.
∵∠MBD＝∠ABC，∠BDM＝∠BCA＝90°，
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∴△BMD∽△BAC，
∴＝，∴＝，
∴MD＝t.
设四边形ACNM的面积为y.
∴y＝S△ABC－S△BMN＝AC·BC－BN·MD
＝×5×5－(5－t)·t
＝t2－t＋＝＋.
∴根据二次函数的性质可知，当t＝时，y的值最小．此时，y最小＝.
1．(2016遵义升学三模)如图，P，Q分别是等边△ABC的AB和AC边延长线上的两动点，点P由B向A匀速移动，同时点Q以相同的速度由C向AC延长线方向移动，连接PQ交BC边于点D，M为AC中点 ，连接PM，已知AB＝6.
(1)若点P，Q的速度均为每秒1个单位，设点P运动时间为x，△APM的面积为y，试求出y关于x的函数关系式；
(2)当时间x为何值时，△APM为直角三角形？
(3)当时间x为何值时，△PQM面积最大？并求此时y的值．
解：(1)∵y＝×(6－x)×，
∴y＝－x＋；
(2)在Rt△APM中，当PM⊥AC时，则x＝0，
当PM⊥AB时，∠AMP＝30°，AP＝AM＝，
∴x＝6－＝；
(3)S△PQM＝·(3＋x)·(6－x)，
＝－(x＋3)(x－6)，
当x＝＝时，
△PQM的面积最大，此时y＝.
2．(汇川升学一模)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y轴相交于点C(0，－4)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点P，Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，
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另一点也随之停止运动．
①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由；
②当P，Q运动到t s时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的坐标．
,备用图)
解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－4)，
∴解得
∴y＝x2－x－4；
(2)①存在．如答图，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC.
∵A(3，0)，B(－1，0)，
C(0，4)，O(0，0)，
∴AB＝4，OA＝3，OC＝4，
∴AC＝5.
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB＝4，
∴AQ＝4.
∵QD∥OC，∴＝＝，
∴＝＝，
∴QD＝，AD＝.
ⅰ作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE＝EQ，即△AEQ为等腰三角形，设AE＝x，则EQ＝x，DE＝AD－AE＝|－x|，∴在Rt△EDQ中，＋＝x2，解得x＝.
∴OA－AE＝3－＝－，∴E；
ⅱ以Q为圆心，AQ长为半径画圆，交x轴于E，此时QE＝QA＝4，
∵ED＝AD＝，∴AE＝，
∴OA－AE＝3－＝－，∴E；
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ⅲ当AE＝AQ＝4时，当E在A点左边时，
∵OA－AE＝3－4＝－1，∴E(－1，0)．
当E点在A点右边时，
∵OA＋AE＝3＋4＝7，∴E(7，0)．
综上所述，E点坐标为或或(－1，0)或(7，0)；
②t＝，D点坐标为.
动线类
【例2】(青岛中考)已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12 cm，BD＝16 cm.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)(0＜t＜8)．解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
(2)设四边形APFE的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式．
【解析】本题考查相似三角形性质；二次函数的有关性质．
【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，
OB＝OD＝BD＝8.
在Rt△AOB中，AB＝＝10.
∵EF⊥BD，∴EF∥AC，∴△DFQ∽△DCO，
∴＝，即＝，∴DF＝t.
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP＝DF.即10－t＝t，
解得t＝，
∴当t＝ s时，四边形APFD是平行四边形；
(2)过点C作CG⊥AB于点G.
∵S菱形ABCD＝AB·CG＝AC·BD，
即10·CG＝×12×16，∴CG＝，
∴S梯形APFD＝(AP＋DF)·CG
＝(10－t＋t)·＝t＋48.
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∵△DFQ∽△DCO，∴＝，
即＝，∴QF＝t.
同理，EQ＝t，∴EF＝QF＋EQ＝t，
∴S△EFD＝EF·QD＝×t×t＝t2，
∴y＝S梯形APFD－S△EFD＝－t2
＝－t2＋t＋48.
【规律总结】解决运动问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握运动与变化的全过程，以静制动，抓住其中的特殊位置或特殊图形，通过数形结合、分类讨论、函数等思想方法解决问题．
3．(红花岗中考)如图，已知⊙O的直径AB＝4，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点C，PC与⊙O交于点D，连接PA，PB，且∠APC＝∠BAP，设PC的长为x(2＜x＜4)．
(1)若直线l过点A，判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)当x＝2.5时，在线段AP上是否存在一个点M，使得△AOM与△ABP相似．若存在，求出AM的长；若不存在，说明理由；
(3)当x为何值时，PD·CD的值最大？最大值是多少？
解：(1)直线l与⊙O相切．理由如下：
∵∠APC＝∠BAP
∴AB∥CP.
∵PC⊥AC，∴BA⊥CA.
∵AB为⊙O的直径，
∴直线l与⊙O相切；
(2)存在．当AM＝或时，△AOM与△ABP相似；
(3)过O作OE⊥PD，垂足为E.
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED.
又∵∠CEO＝∠ECA＝∠OAC＝90°，
∴四边形OACE为矩形，∴CE＝OA＝2.
又∵PC＝x，
∴PE＝ED＝PC－CE＝x－2，PD＝2(x－2)，
∴CD＝PC－PD＝x－2(x－2)＝4－x，
∴PD·CD＝2(x－2)·(4－x)＝－2x2＋12x－16
＝－2(x－3)2＋2，
∵2＜x＜4，
∴当x＝3时，PD·CD的值最大，最大值是2.
4．(湖州中考)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，
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交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位长度，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标．(直接写出结果，不必写解答过程)
解：(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y＝－x2＋bx＋c得
解得
∴二次函数解析式为y＝－x2＋2x＋4，
配方得y＝－(x－1)2＋5，∴点M坐标为(1，5)；
(2)设直线AC解析式为y＝kx＋b，把点A(3，1)，点C(0，4)代入，得
解得
∴直线AC解析式为y＝－x＋4.如图所示，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点E，点F，
把x＝1代入直线AC解析式y＝－x＋4，
解得y＝3，
则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，
∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；
(3)所有符合题意的点P坐标有4个，分别为P1，P2，P3(3，1)，P4(－3，7)。
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