2017-2018学年广东省湛江市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是（ ）
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
3．（3分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
4．（3分）抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D． [来源:学科网]
5．（3分）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．（3分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
7．（3分）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
8．（3分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）[来源:Z&xx&k.Com]
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
10．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y=4（x﹣3）2+7的图象的顶点坐标是 ．
12．（4分）若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
13．（4分）若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2018= ．
14．（4分）从甲、乙、丙、丁4名学生中随机抽取2名学生担任数学小组长，则抽取到甲和乙概率为 ．
15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r= ．
16．（4分）若二次函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a（a≠1）的图象与
x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．
18．（6分）设a，b是方程x2+x﹣2018=0的两实数根，求a2+2a+b的值．
19．（6分）如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2，求⊙O半径的长．
四、解答题（每小题7分，共21分）
20．（7分）如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．
（1）△DCF可以看作是△BCE绕点C旋转某个角度得到的吗？
（2）若∠CEB=60°，求∠EFD的度数．
21．（7分）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
22．（7分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
五、解答题（每小题9分，共27分）
23．（9分）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大的利润？
24．（9分）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC=BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
25．（9分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
2017-2018学年广东省湛江市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，
故选：D．
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是（ ）
A．m＜1 B．m＞﹣1 C．m＞1 D．m＜﹣1
【解答】解：由题意知，△=4﹣4m＜0，
∴m＞1
故选：C．
3．（3分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点
【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
4．（3分）抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数能被3整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6种可能，
其中所得的点数能被3整除的有3、6这两种，
∴所得的点数能被3整除的概率为=，
故选：B．
5．（3分）如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠A=50°，OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB=50°，
∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC=∠AOB=40°，
故选：A．
6．（3分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
【解答】解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选：B．
7．（3分）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+
36=0的两根，则该三角形的周长为（ ）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
【解答】解：解方程x2﹣13x+36=0得，
x=9或4，
即第三边长为9或4．
边长为9，3，6不能构成三角形；
而4，3，6能构成三角形，
所以三角形的周长为3+4+6=13，
故选：A．
8．（3分）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∵共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）[来源:学+科+网]
【解答】解：根据垂径定理的推论，则
作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．
故选：D．
10．（3分）当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，ab＞0，即a、b同号，
当a＞0时，b＞0，y=ax2与开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a＜0时，b＜0，y=ax2与开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）二次函数y=4（x﹣3）2+7的图象的顶点坐标是 （3，7） ．
【解答】解：
∵y=4（x﹣3）2+7，
∴顶点坐标为（3，7），
故答案为：（3，7）．
12．（4分）若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 3 ．
【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，
所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=3．
故答案为3．
13．（4分）若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则（m+n）2018= 1 ．
【解答】解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m=﹣3，n=2，
则（m+n）2018=（﹣3+2）2018=1．
故答案为：1．
14．（4分）从甲、乙、丙、丁4名学生中随机抽取2名学生担任数学小组长，则抽取到甲和乙概率为 ．
【解答】解：画树形图得：
∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）==．
故答案为：．
15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=4，BC=3，则△ABC的内切圆半径r= 1 ．
【解答】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=BF=3﹣r，AF=AD=4﹣r，
∴4﹣r+3﹣r=5，
∴r=1．
∴△ABC的内切圆的半径为 1．
故答案为；1．
16．（4分）若二次函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a（a≠1）的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ﹣1或2 ．
【解答】解：∵二次函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，
解得：a1=﹣1，a2=2，
故答案为：﹣1或2．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣x﹣12=0．
【解答】解：分解因式得：（x+3）（x﹣4）=0，
可得x+3=0或x﹣4=0，
解得：x1=﹣3，x2=4．
18．（6分）设a，b是方程x2+x﹣2018=0的两实数根，求a2+2a+b的值．
【解答】解：
∵a，b是方程x2+x﹣2018=0的两实数根，
∴a2+a=2018，a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2018﹣1=2017．
19．（6分）如图，在⊙O中，点C是的中点，弦AB与半径OC相交于点D，AB=12，CD=2，求⊙O半径的长．
【解答】解：连接AO，
∵点C是弧AB的中点，半径OC与AB相交于点D，
∴OC⊥AB，
∵AB=12，
∴AD=BD=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2=OD2+AD2，
即：R2=（R﹣2）2+62，
∴R=10[来源:Z&xx&k.Com]
答：⊙O的半径长为10．
四、解答题（每小题7分，共21分）
20．（7分）如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF．
（1）△DCF可以看作是△BCE绕点C旋转某个角度得到的吗？
（2）若∠CEB=60°，求∠EFD的度数．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCB=∠FCE=90°，
在△DCF和△BCE中
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴△DCF可以看作是△BCE绕点C旋转90°而得到的图形；
（2）∵△BCE≌△DCF，
∴∠DFC=∠BEC=60°，
∵CE=CF，
∴∠CFE=45°，[来源:学。科。网]
∴∠EFD=15°．
21．（7分）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．
【解答】解：设小正方形的边长为xcm，由题意得
10×8﹣4x2=80%×10×8，
80﹣4x2=64，
4x2=16，
x2=4．
解得：x1=2，x2=﹣2，
经检验x1=2符合题意，x2=﹣2不符合题意，舍去；
所以x=2．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
22．（7分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【解答】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，
故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：；
（2）这个游戏不公平．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，
∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．
∴P（甲胜）≠P（乙胜），
故这个游戏不公平．
五、解答题（每小题9分，共27分）
23．（9分）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大的利润？
【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]
=（x﹣20）（1000﹣20x）
=﹣20x2+1400x﹣20000
=﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴x=35时，y有最大值，最大值为4500，
35﹣30=5，
所以，销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润4500元．
24．（9分）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC=BD；
（2）求证：DE为⊙O的切线．
【解答】证明：（1）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴DC=BD；
（2）连接半径OD，
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
25．（9分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴，
∴a=，b=﹣，c=﹣1，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣1；
（2）当y=0时，得x2﹣x﹣1=0；
解得x1=2，x2=﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．
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