太原五中2017—2018学年度第二学期阶段性检测
高 三 数 学(文)
出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷 (2018.4.2）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知，，则（ ）
2、已知复数为虚数单位在复平面内对应的点在第三象限，
则实数的取值范围是（ ）
3、设，，，则（ ）
4、我市某小学三年级有甲、乙两个班，其中甲班有男生人，女生人，乙班有男
生人，女生人，现在需要各班按男、女生分层抽取的学生进行某项调查，
则两个班共抽取男生人数是（ ）
5、在区间，随机地取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（ ）
6、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算
口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数
学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路
源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输
出的的值为，则输入的的值为（ ）
7、设实数，满足约束条件，
则的最小值是（ ）
8、已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，，
平面，且，，则球的表面积为（ ）
9、已知平面上三点，，构成的三角形及其内
部即为区域，过中的任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，则当最小时，（ ）
10、平行四边形中，，，，点在边上，
则的最大值为（ ）
11、已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，，
则（ ）
12、定义在上的函数为减函数，且函数的图象关于点对称，若，且，则的取值范围是（ ）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13、若，则的值为 .
14、曲线在点，处的切线在轴上的截距是 .
正视图
侧视图
俯视图
1
2
2
1
2
15、如图是某四面体的三视图，
则该几何体最长的棱长为 .
16、已知函数，关于的方程有四个不同的实数解，，，，则的取值范围为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小；
（2）已知等差数列的公差不为零，若，且，，成等比数列，求的前项和.
18、（本小题满分12分）
A
P
B
C
D
O
A
P
B
C
D
O
如图，在四棱锥中，四边形是菱形，对角线与的交点为，，，.
（1） 证明：平面；
（2） 点在棱上，若体积，
求①点的位置；②与平面所成角的正切值.
19、（本小题满分12分）
在2018年2月K12联盟考试中，我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占94%人，数学成绩的频率分布直方图如图：
（1）如果成绩不低于130的为特别优秀，这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人，从（1）中的这些同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．
（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．
①；
②
P（k2≥k0）
0.50
0.40
…
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
…
6.635
7.879
10.828
频率/组距
数学成绩
50
70
150
130
110
90
0.002
0.005
0.018
0.020
20、（本小题满分12分）
已知动圆与圆相内切，且与圆相内
切，记圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作直线交曲线于
，两个不同的点，且满足∥，的面积为，求直线的方程.
21、（本小题满分12分）
已知函数（为常数）．
（1） 讨论函数的单调区间；
（2）当时，设的两个极值点，（）恰为的零点，求的最小值．[来源:学科
请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.
22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）设分别交、于点、，求的面积.
23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，且当时，不等式恒成立，
求实数的取值范围．
太原五中2017-2018学年度第二学期阶段性检测答案
高三数学（文）
（2018.4.2）
一、选择题(每小题5分，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
B
B
C
C
D
B
A
C
D
二、 填空题(每小题5分，共20分)
13.14. 15. 16. ，
三、解答题(本大题6小题，共70分)
17.(本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理可得：，
从而可得，即.
又为三角形的内角，所以，于是，
又为三角形的内角，所以. （6分）
（2）设的公差为，因为，且，，成等比数列，所以，且，
所以，且，解得，
所以，所以，
所以. （12分）
18.(本小题满分12分）
证明：（1）∵，且为中点，∴.
在菱形中，∵，，∴，.A
P
B
C
D
O
A
P
B
C
D
O
又，∴.
∵，∴，.
∵，∴平面； （5分）
（2）①∵，
∴，即，∴，为的中点. （7分）
②作∥交与点，连结.
∵，，∴平面，
∴平面，是与平面所成的角.
∵，，
∴. （12分）
19.(本小题满分12分）
解:（1）∵我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有94%人，
∴语文成绩特别优秀的概率为p1=1﹣0.94=0.06，
∴语文特别优秀的同学有100×0.06=6人，
∵数学成绩特别优秀的概率为p2=0.002×20=0.04，
∴数学特别优秀的同学有100×0.04=4人． （4分）
（2）语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有4人，
记两科都优秀的3人分别为A1、A2、A3，单科优秀的4人分别为B1、B2、B3、B4，从中随机抽取2人，共有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1
，B3）、（A1，B4）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A2，B3）、（A2，B4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A3，B3）、
（A3，B4）、（B1，B2）、（B1，B3）、（B1，B4）、（B2，B3）、（B2，B4）、（B3，B4）21种，其中这两人两科成绩都优秀的有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A2，A3）3种，
∴这两人两科成绩都优秀的概率． （8分）
（3）2×2列联表：
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
3
93
96
合计
6
94
100
∴,
∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀． （12分）
20．(本小题满分12分）
解：（1）设圆的半径为，圆心的坐标为，由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以.
所以圆心的轨迹是以点，为焦点的椭圆，且，，则，
所以曲线的方程为. （5分）
（2）由题意，设，，直线的方程为.
由可得，则，，
所以.
因为∥，所以的面积等于的面积.
又点到直线的距离，
所以的面积，
因为面积为，所以，解得，故直线方程为.（12分）
21．(本小题满分12分）
解：（1），，
当时，由，解得，即当时，，单调递增；
由，解得，即当时，，单调递减；
当时，，即在上单调递增；
当时，，故，即在上单调递增．
所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为．（6分）
（2）由得：，
由已知有两个互异实根，，
由根与系数的关系得，，
因为，是的两个零点，故 ①
②
由②-①得：，解得，
因为，得，
将代入得
，
所以，
设，因为，
所以，所以，所以，所以．
构造，得，
则在上是增函数，
所以，即的最小值为．（12分）
22．(本小题满分10分）
解：（1）曲线的普通方程：，即.
所以的极坐标方程为，即.
曲线的直角坐标方程：. （5分）
（2）依题意，设点、的极坐标分别为.
将代入，得，
将代入，得，
所以，依题意得，点到曲线的距离为.
所以. （10分）
22．(本小题满分10分）
解：（1）当时，，则，
由解得：或，即原不等式的解集为. （5分）
（2），即，又且，
所以且
所以.即.
令，则，
所以时，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是. （10分）
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