由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
大题规范练(一)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin 2Ccos C－sin 3C＝(1－cos C)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，且sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
解：(1)由2sin 2Ccos C－sin 3C＝(1－cos C)，
得sin 2Ccos C－cos 2Csin C＝－cos C，
化简得sin C＝－cos C，
即sin C＋cos C＝，所以sin＝，
又C为△ABC的内角，
所以C＋＝，故C＝.
(2)由已知可得，sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin 2A，
可得sin Bcos A＝2sin Acos A.
所以cos A＝0或sin B＝2sin A.
当cos A＝0时，A＝，则b＝，S△ABC＝·b·c＝××2＝.
当sin B＝2sin A时，由正弦定理得b＝2a.
由cos C＝＝＝，得a2＝，
所以S△ABC＝·b·a·sin C＝·2a·a·＝a2＝.
综上可知，S△ABC＝.
2．(本小题满分12分)河南省第十二届人民代表大会常务委员会第二十一次会议通过的《河南省人口与计划生育条例修正案》全面开放二孩政策．为了解人们对于河南省新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查，对[5,65]岁的人群随机抽取了n人，得到如下统计表和各年龄段抽取人数的频率分布直方图：
分组
支持“生育二孩放开” 政策的人数
占本组的频率
[5,15)
4
0.8
[15,25)
5
p
[25,35)
12
0.8
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
[35,45)
8
0.8
[45,55)
2
0.4
[55,65]
1
0.2
(1)求n，p的值；
(2)根据以上统计数据填下面2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能否有99%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有关系？
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
不支持
合计
参考数据：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝，n＝a＋b＋c＋d
解：(1)从[5,15)岁这一年龄段中抽取的人数为＝5，频率为0.010×10＝0.1，
∴n＝＝50.由题可知，第二组的频率为0.2，
∴第二组的人数为50×0.2＝10，则p＝＝0.5.
(2)2×2列联表如下：
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
3
29
32
不支持
7
11
18
合计
10
40
50
K2＝≈6.27＜6.635，
∴没有99%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“生育二孩放开”政策的支持度有差异．
3．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，A1A＝4，AB＝AC＝2.F为棱AA1上的动点，D是BC1上的点且BD＝DC1.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
(1)若DF∥平面ABC，求的值；
(2)是否存在点F，使得四面体ABFC1的体积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
解：(1)如图，设BC的中点为E，连接AE，ED，
∵D是BC1上的点且BD＝DC1，
∴DE∥CC1且DE＝CC1，∵AF∥CC1，∴DE∥AF，
∵DF∥平面ABC，∴DF∥AE，∴四边形AEDF为平行四边形，
∴AF＝DE，∵AA1＝CC1，∴AF＝AA1，∴的值为1.
(2)设AF＝t(0＜t＜4)，∵在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，∴点B到平面ACC1A1的距离为，
连接AC1，则S△AFC1＝t，∴VABFC1＝VBAFC1＝×S△AFC1×＝t＝，∴t＝，
∴存在点F，使得四面体ABFC1的体积为，且的值为.
4．(本小题满分12分)已知中心在原点，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C1：＋＝1(m＞n＞0)，椭圆C2＝＋＝λ(λ＞0且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于M，N两点，求弦长|MN|的取值范围．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(－a，0)，B(0，b)，∴直线AB的方程为＋＝1，整理得－bx＋ay－ab＝0，
∴F1(－1,0)到直线AB的距离d＝＝b，
整理得a2＋b2＝7(a－1)2，
又b2＝a2－c2，故a＝2，b＝，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1，
①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2.
②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋d，
将y＝kx＋d代入椭圆C的方程中，
整理得(3＋4k2)x2＋8kdx＋4d2－12＝0，
∵直线l与椭圆C相切，
∴Δ＝(8kd)2－4(3＋4k2)(4d2－12)＝48(4k2＋3－d2)＝0，即d2＝4k2＋3.
记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
将y＝kx＋d代入椭圆C2的方程，得
(3＋4k2)x2＋8kdx＋4d2－36＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝＝把d2＝4k2＋3代入得|x1－x2|＝，
∴|MN|＝·|x1－x2|＝4 ＝
2 .
∵3＋4k2≥3，∴1＜1＋≤，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
即2＜2 ≤4.
综上，弦长|MN|的取值范围为[2，4]．
5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a(x2－1)－ln x.
(1)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的值；
(2)若f(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2ax－，
∵f(x)在x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝0，a＝.
经验证，x＝2是f(x)的极小值点，故a＝.
(2)f′(x)＝2ax－，
①当a≤0时，f′(x)＜0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴当x＞1时，f(x)＜f(1)＝0，这与f(x)≥0矛盾．
②当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞；令f′(x)＜0，得0＜x＜.
(ⅰ)若＞1，即0＜a＜，当x∈时，f′(x)＜0，
∴f(x)在上单调递减，
∴f(x)＜f(1)＝0，与f(x)≥0矛盾．
(ⅱ)若≤1，即a≥，当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(1)＝0，满足题意．
综上，a≥.
请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(a为参数)，直线l：x－y－6＝0.
(1)在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出最大值；
(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点之间的距离之积．
解：(1)设点P(cos a，sin a)，则点P到直线l的距离d＝＝
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
，
∴当sin＝－1时，dmax＝4，
此时，cos a＝－，sin a＝，P点坐标为.
(2)曲线C的普通方程为＋y2＝1，即x2＋3y2＝3，由题意知，直线l1的参数方程为(t为参数)，代入x2＋3y2＝3中化简得，
2t2－t－2＝0，得t1t2＝－1，
由参数的几何意义得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝1.
7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|.
(1)解不等式f(x)≤5；
(2)若不等式m2－m＜f(x)对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝
∴原不等式等价于或或，解得－≤x＜或≤x≤或≤x≤，
∴不等式f(x)≤5的解集为.
(2)∵f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|≥|2x－1－(2x－3)|＝2，
∴m2－m＜f(x)min＝2，即m2－m－2＜0，
∴－1＜m＜2.
故m的取值范围是(－1,2)．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付