由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
大题规范练(三)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿下主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2－sin B·sin C＝.
(1)求角A；
(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由cos2－sin B·sin C＝，
得－sin B·sin C＝－，
∴cos(B＋C)＝－，
∴cos A＝(0＜A＜π)，∴A＝.
(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－bc≥(2－)bc，当且仅当b＝c时取等号，即bc≤8(2＋)．
∴S△ABC＝bcsin A＝bc≤4(＋1)，
即△ABC面积的最大值为4(＋1)．
2．(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别为BC，PD的中点，PA＝AB＝2.
(1)证明：AE⊥平面PAD；
(2)求多面体PAECF的体积．
解：(1)证明：由PA⊥底面ABCD得，PA⊥AE.
由底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，得△ABC为等边三角形，又E为BC的中点，得AE⊥BC，所以AE⊥AD.
因为PA∩AD＝A，所以AE⊥平面PAD.
(2)设多面体PAECF的体积为V，则
V＝VPAEC＋VCPAF.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
VPAEC＝××PA＝××2＝；
VCPAF＝××AE＝××＝.
故多面体PAECF的体积V＝＋＝.
3．(本小题满分12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x(℃)
10
11
13
12
8
6
就诊人数y(人)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求回归直线方程，再用被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
(2)若选取的是1月与6月的2组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程＝x＋；
(3)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问该小组所得到的回归直线方程是否理想？
(参考公式：＝，＝－)
解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件M，
从6组数据中选取2组数据有{(10,22)，(11,25)}，{(10,22)，(13,29)}，{(10,22)，(12,26)}，{(10,22)，(8,16)}，{(10,22)，(6,12)}，{(11,25)，(13,29)}，{(11,25)，(12,26)}，{(11,25)，(8,16)}，{(11,25)，(6,12)}，{(13,29)，(12,26)}，{(13,29)，(8,16)}，{(13,29)，(6,12)}，{(12,26)，(8,16)}，{(12,26)，(6,12)}，{(8,16)，(6,12)}，共15种情况．每种情况都是等可能出现的，其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以P(M
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
)＝＝.
(2)由表中数据求得＝11，＝24，
由参考公式＝计算可得＝，
再由＝－求得＝－，
所以y关于x的回归直线方程为＝x－.
(3)当x＝10时，＝，＝＜2；
同样，当x＝6时，＝，＝＜2.
所以，该小组所得到的回归直线方程是理想的．
4．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O为坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．
解：(1)由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.
由方程组得3x2－12x＋18－2b2＝0.
由题意Δ＝24(b2－3)＝0，得b2＝3，
则直线l与椭圆E的交点坐标为(2,1)所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2,1)．
(2)证明：由已知可设直线l′的方程为
y＝x＋m(m≠0)，
由方程组
可得
所以P点坐标为，|PT|2＝m2.
设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组可得3x2＋4mx＋4m2－12＝0.
由Δ＝16(9－2m2)＞0，解得－＜m＜.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，
x1x2＝.
所以|PA|＝
把y1＝x1＋m代入得
|PA|＝，
同理|PB|＝.
所以|PA|·|PB|＝
＝
＝
＝m2.
故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.
5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2a2ln x－x2(a＞0)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)讨论函数f(x)在区间(1，e2)上零点的个数(e为自然对数的底数)．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2ln x－x2，
∴f′(x)＝－2x，∴f′(1)＝0，
又f(1)＝－1，
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋1＝0.
(2)∵f(x)＝2a2ln x－x2，∴f′(x)＝－2x＝＝，
∵x＞0，a＞0，∴当0＜x＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)＜0.
∴f(x)在(0，a)上是增函数，在(a，＋∞)上是减函数．
(3)由(2)得f(x)max＝f(a)＝a2(2ln a－1)．
讨论函数f(x)的零点情况如下：
①当a2(2ln a－1)＜0，即0＜a＜时，函数f(x)无零点，在(1，e2)上无零点；
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
②当a2(2ln a－1)＝0，即a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)内有唯一零点a，而1＜a＝＜e2，∴f(x)在(1，e2)内有一个零点；
③当a2(2ln a－1)＞0，即a＞时，由于f(1)＝－1＜0，f(a)＝a2(2ln a－1)＞0，f(e2)＝2a2ln e2－e4＝4a2－e4＝(2a－e2)(2a＋e2)，当2a－e2＜0，即＜a＜时，1＜＜a＜＜e2，f(e2)＜0，由函数的单调性可知，函数f(x)在(1，a)内有唯一零点x1，在(a，e2)内有唯一零点x2，∴f(x)在(1，e2)内有两个零点．
当2a－e2≥0，即a≥＞时，f(e2)≥0，而且f()＝2a2·－e＝a2－e＞0，f(1)＝－1＜0，由函数的单调性可知，无论a≥e2，还是a＜e2，f(x)在(1，)内有唯一的一个零点，在(，e2)内没有零点，从而f(x)在(1，e2)内只有一个零点．
综上所述，当0＜a＜时，函数f(x)无零点；当a＝或a≥时，函数f(x)有一个零点；当＜a＜时，函数f(x)有两个零点．
请考生在第6、7题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
6．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时△AOB的面积．
解：(1)由得C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝9，由ρ＝2sin θ得ρ2＝2ρsin θ，
将x2＋y2＝ρ2，y＝ρsin θ代入上式得C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在线段C1C2上时，|AB|取得最小值，
由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，
∴kC1C2＝＝1，则直线C1C2的方程为x－y＋1＝0，
∴点O到直线C1C2的距离d＝＝，
又|AB|＝|C1C2|－1－3＝－4＝4－4，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∴S△AOB＝d|AB|＝××(4－4)＝2－.
7．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立．
(1)求实数k的最大值；
(2)若实数k的最大值为n，正数a，b满足＋＝n.求7a＋4b的最小值．
解：(1)因为|x＋2|＋|6－x|≥k恒成立，
设g(x)＝|x＋2|＋|6－x|，则g(x)min≥k.
又|x＋2|＋|6－x|≥|(x＋2)＋(6－x)|＝8，
当且仅当－2≤x≤6时，g(x)min＝8，
所以k≤8，即实数k的最大值为8.
(2)由(1)知，n＝8，所以＋＝8，
即＋＝4，又a，b均为正数，
所以7a＋4b＝(7a＋4b)
＝[(5a＋b)＋(2a＋3b)]
＝
≥×(5＋4)＝，
当且仅当＝，即a＝5b＝时，等号成立，所以7a＋4b的最小值是.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付