2018年北京市延庆区高考一模考试数学试题及答案（理）含答案.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 延庆区2017—2018学年度高三模拟试卷 ‎ 数学（理科） 2018.3‎ 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若集合，则 ‎ ‎（A） （B）或 ‎ ‎（C） （D）或 ‎2. 在复平面内，复数的对应点位于的象限是 ‎ ‎（A）第一象限 ‎（B）第二象限 ‎ （C）第三象限 ‎（D）第四象限 ‎3. 已知函数是定义域为的奇函数，且，那么 ‎（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2‎ ‎4. 已知非零向量则“”是“”的 ‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎ ‎5. 若，满足则的最小值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6. 该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,4,则输出的为 ‎（A）0 （B）2 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（C）4 （D）14 ‎ ‎7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为 ‎ ‎2 ‎ ‎1 ‎ ‎（A）　　 ‎ 正（主）视图 侧（左）视图 ‎1 ‎ ‎（B）　　　 ‎ ‎（C） 　　 ‎ ‎（7题图） ‎ ‎（D）‎ 俯 视 图 ‎ ‎1 ‎ ‎ ‎ ‎8. 若是函数的两个不同的零点，且这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则的值等于 ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 设双曲线的焦点为为该双曲线上的一点，若，则　 　．‎ ‎10. 已知，其周期为，则= ，当时，函数的最大值为　 　．‎ ‎11. 无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,需要在报名的2名男教师和6名女教师中，选取5人参加无偿献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为　 　．（结果用数值表示）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎12. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，则的极径为　 　．‎ ‎13. 已知在定义域内均为增函数，但不一定是增函数，例如当= 且= 时，不是增函数.‎ ‎14. 有4个不同国籍的人，他们的名字分别是A、B、C、D，他们分别来自英国、美国、德国、法国（名字顺序与国籍顺序不一定一致）. 现已知每人只从事一个职业，且：‎ ‎（1）A和来自美国的人他们俩是医生；‎ ‎（2）B和来自德国的人他们俩是教师；‎ ‎（3）C会游泳而来自德国的人不会游泳；‎ ‎（4）A和来自法国的人他们俩一起去打球.‎ 根据以上条件可推测出A是来自 国的人，D是来自 国的人.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ ‎△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2.‎ ‎（Ⅰ）求角A； ‎ ‎（Ⅱ）求边c及△ABC的面积.‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 某车险的基本保费为（单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 保费 ‎0.85‎ ‎1.25‎ ‎1.5‎ ‎1.75‎ ‎2‎ 随机调查了该险种的1000名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎≥5‎ 频数 ‎400‎ ‎270‎ ‎200‎ ‎80‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎（Ⅰ）记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求的估计值；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（Ⅱ）某公司有三辆汽车,基本保费均为,根据随机调查表的出险情况,记为三辆车中一年内出险的车辆个数,写出的分布列；‎ ‎（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，点分别是线段的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长，若不存在，请说明理由.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设不等式的解集为，且,求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设，写出函数的零点的个数.（只需写出结论）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎19. （本小题满分14分）‎ 已知椭圆：过点且离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 设满足以下两个条件的有穷数列 为 阶“数列”：‎ ‎①； ②.‎ ‎（Ⅰ）分别写出一个单调递增的阶和阶“数列”；‎ ‎（Ⅱ）若2018阶“数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）记阶“数列”的前项和为，试证.‎ ‎2017-2018延庆区一模考试数学（理）评分标准 一、选择题 DCDB DBDB ‎ 二、填空题 9. 7 10. ,2或 11. 50 12. 2 ‎ ‎ 13. 答案不唯一 14.英, 德（第一空3分第二空2分）‎ ‎13题参考答案：‎ 三、解答题 ‎15. （Ⅰ）由 ‎ ‎ ………2分 ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即， ………3分 又，∴，得. ………5分 ‎（Ⅱ）由余弦定理， ………6分 又∵ ………8分 代入并整理得，故； ………11分 ‎ ………13分 ‎ ‎16.（Ⅰ）事件A的人数为：400+270=670，该险种有1000人续保，所以P（A）的估计值为： ………3分 ‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3， ………4分 由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为，‎ 出险的概率为，则 ………5分 ‎，‎ ‎， ………9分 所以的分布列为：‎ ‎3‎ ‎ ………10分 ‎ ‎（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估值为：‎ ‎………13分 ‎17（Ⅰ）如图，取的中点，连接，又是的中点，‎ 所以 ，且 ………1分 ‎ 又是中点，所以，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由四边形是矩形得，， ， ………2分 所以， ， ‎ 从而四边形是平行四边形，， ………3分 又平面，平面 所以平面………4分 法一：（Ⅱ）如图，在平面内，过点作,因为又因为平面，所以， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，…5分 则 ………6分 因为平面，所以为平面的法向量，………7分 设为平面的法向量，又 由取得. ………9分 从而 ………10分 所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）假设在线段存在点，设点的坐标为. ………11分 因为 所以， ………12分 因为，所以 .………13分 所以 ………14分 法二：（Ⅱ）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过做垂直平面 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，‎ ‎，为平面的法向量， ………7分 设为平面的法向量，又 由得取得 ………9分 从而 ………10分 所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）假设在线段存在点，设点的坐标为. ………11分 因为 所以， ………12分 因为，所以 .………13分 所以 ………14分 ‎18（Ⅰ）所以切线的斜率 ‎ 又因为， ……2分 所以切线方程为 . ……3分 ‎（Ⅱ）因为不等式的解集为P，且，‎ 所以，对任意的，不等式恒成立， ………4分 由得.当时， 上述不等式显然成立，故只需考虑的情况. ………5分 将变形得 ………6分 令， ………7分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 令，解得；令，解得 ‎ 从而在（0,1）内单调递减，在（1，2）内单调递增. ………8分 当时， 取得最小值，所以实数的取值范围是.……9分 ‎（Ⅲ）当时有一个零点；当 无零点 ‎ 当时有一个零点；当 时有两个零点. ………13分 ‎19 （Ⅰ）由已知得 所以椭圆的方程为 …………4分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线为或 都有. ………6分 当直线的斜率存在时，设直线，‎ ‎ 由 消去，可得 ‎，由题可知，，有 ………8分 又 可得；同理可得.‎ 由原点到直线的距离为和 可得 ………10分 ‎∵，∴ ………11分 ‎ 当，即时，………12分 当，即时，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因为，所以，所以，当且仅当时等号成立. 综上，当时，的面积存在最小值为 ………14分 ‎20.解：（Ⅰ）数列为单调递增的阶“数列”；‎ 数列为单调递增的阶“数列”. （答案不唯一） ┄4分 ‎（Ⅱ）设等差数列的公差为，‎ 因为，所以.即.‎ 所以. 于是. ┄5分 由于，根据“数列”的条件①②得 ‎， ┄6分 ‎ 两式相减得.即 . ┄8分 由得，即. ┄10分 所以. ┄11分 ‎（Ⅲ）当时，显然成立；当时，根据条件①得 ‎，‎ ‎ 所以 .‎ 所以 ‎.‎ ‎ 所以. ┄13分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费