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2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）
数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）
4.如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（ ）
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A．和6 B．和6 C．和8 D．和8
5.函数的部分图象大致为（ ）
6.某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（ ）
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A． B． C． D．
7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种
A．24 B．36 C．48 D．60
8.的内角，，的对边分别为，，，若，，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9.已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过，，，四点的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
11.已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.若直线（）和曲线（）的图象交于
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，，（）三点时，曲线在点，点处的切线总是平行，则过点可作曲线的（ ）条切线
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设实数，满足约束条件则的最大值为 ．
14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）
15.已知函数满足，当时，的值为 ．
16.已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列的前项和为，且，正项等比数列的前项和为，且，．
（1）求和的通项公式；
（2）数列中，，且，求的通项．
18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占
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．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；
（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量，求的分布列与数学期望．
19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
20.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于，
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两点，求四边形面积的最大值．
21.已知函数（）．
（1）若为在上的单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）设，当时，若（其中，），求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：（）．
（1）求与交点的极坐标；
（2）设点在上，，求动点的极坐标方程．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对于都有恒成立，求实数的取值范围．
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2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）∵，∴令，，
，，
经检验不能与（）时合并，
∴
又∵数列为等比数列，，，
∴，∴，
∴，∴．
（2），
∵，，…，，
以上各式相加得，
，
∴，
∴．
18.解：（1）由，得，
平均数为岁；
设中位数为，则，∴岁．
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（2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人．
设第2组中恰好抽取2人的事件为，
则．
（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为，
的所有可能取值为0，1,2,3，
∴，，，
，
所以的分布列为：
∵，
∴．
19.解：（1）取中点，连接，，
∵，分别是，中点，∴，，
∵为中点，为矩形，∴，，
∴，，∴四边形为平行四边形，
∴，∵平面，平面，
∴平面．
（2）∵平面，且四边形是正方形，∴，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面法向量，，，
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则即取，
设平面法向量为，，，
则即取，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
20.解：（1）∵，∴，
椭圆的方程为，
将代入得，∴，
∴椭圆的方程为．
（2）设的方程为，联立
消去，得，
设点，，
有，，
有，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
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从而四边形的面积（或）
令，，
有，设函数，，所以在上单调递增，
有，故，
所以当，即时，四边形面积的最大值为6．
21.解：（1）∵的定义域为且单调递增，
∴在上，恒成立，
即：，
所以设，，
∴，
∴当时，，∴在上为增函数，
∴当时，，∴在上为减函数，
∴，∵，
∴，即．
（2）∵，
∵，，
∴，
∴，
∴设，，则，
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∴，∴在上递增，
∴设，，
∴，
∵，
∴，，
∴，在上递增，
∴，
∴，，
令，
∴，即，
又∵，
∴，即，
∵在上递增，
∴，即得证．
22.解：（1）联立，
∵，，，
∴所求交点的极坐标．
（2）设，且，，
由已知，得
∴，点的极坐标方程为，．
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23.解：（1）当时，
当解得；当，恒成立；
当解得，
此不等式的解集为．
（2）令
当时，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，
所以，
所以，
当时，，所以在上单调递减，
所以，
所以，
综上，．
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