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2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知两个非零向量，互相垂直，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
7.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
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A． B． C． D．
8.已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，在矩形中，，，两个圆的半径都是1，且圆心，均在对方的圆周上，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
10.设函数与的图象在轴右侧的第一个交点为，过点作轴的平行线交函数的图象于点，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
11.某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
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12.设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组号，第二组号，…，第五组号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为 ．
14.已知实数，满足则的最大值为 ．
15.边长为2的等边的三个顶点，，都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为 ．
16.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，与双曲线右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列的前项和为，，．
（1）求；
（2）求证:．
18.某城镇社区为了丰富辖区内广大居民的业余文化生活，创建了社区“文化丹青”大型活动场所，配备了各种文化娱乐活动所需要的设施，让广大居民健康生活、积极向上．社区最近四年内在“文化丹青”上的投资金额统计数据如表：（为了便于计算，把2015年简记为5，其余以此类推）
年份（年）
5
6
7
8
投资金额（万元）
15
17
21
27
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（1）利用所给数据，求出投资金额与年份之间的回归直线方程；
（2）预测该社区在2019年在“文化丹青”上的投资金额．
（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．）
19.三棱柱中，，，分别为棱，，的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）若三棱柱的体积为，求三棱锥的体积．
20.如图，已知，是椭圆的左右焦点，为椭圆的上顶点，点在椭圆上，直线与轴的交点为，为坐标原点，且，．
（1）求椭圆的方程；
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（2）过点作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于，两点（异于点），证明：直线过定点，并求该定点的坐标．
21.已知函数（，）．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，判断关于的方程的解得个数．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）记曲线和在第一象限内的交点为，点在曲线上，且，求的面积．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；
（2）若正实数，满足，当取（1）中最大值时，求的最小值．
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2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷文科数学答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.64 14.8 15. 16.
三、解答题
17.解：（1），，
两式相减，，，其中，
累乘得，，其中，又，
∴．
（2）．
18.解：（1），，
∴，
，回归方程为．
（2）当时，，预测该社区在2019年投资金额为30万元．
19.解：（1）设为中点，连接，则，
又，所以为平行四边形，，
所以平面．
（2），
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平面，，
∴ ，
∴．
20.解：（1）由题，∴，，
联立和，解得，，所求椭圆方程为．
（2）设，，直线：，联立椭圆方程得
，，．
由题，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，
所以若直线经过定点，该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上．
设该点坐标，，，
代入，，化简得，经过定点．
21.解：（1），
由题在恒成立，，即，
设，，
在上单调递增，在上单调递减，
，．
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（2），即，其中，
∴，，
令，，，
在上单调递减，在上单调递增，由，
又，所以存在，使在上满足，
在上满足，即在上单调递减，在上单调递增，
由，→时，→，
所以当，时，有一个解，
∴只有一个解．
22.解：（1）由题：，，即，
：．
（2）联立和，得，，
设，由，，得，，
．
23.解：（1），时等号成立，
∴的最小值为，，，．
（2）时，，
∴，，时等号成立．
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