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一元二次方程及其应用
考点一、 一元二次方程的解法 （10分）
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当ba2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
9．（2017·四川泸州）若关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
10.（2017·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
11．（2017·湖北荆门·3分）若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7
12.（2017·内蒙古包头·3分）若关于x的方程x2＋（m＋1）x＋＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣或 D．1
13. （2017·山东潍坊·3分）关于x的一元二次方程x2﹣x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
二、填空题
14. （2017·辽宁丹东·3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 ________．
15．（2017·山东省菏泽市·3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝ ．
16.（2017河南）若关于x的一元二次方程x2＋3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___ ．
17.（2017·山东省德州市·4分）方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x12＋x22＝ ___ ．
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18．（2017·四川宜宾）已知一元二次方程x2＋3x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x12＋x1x2＋x22＝ ___．
19．（2017·四川攀枝花）设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则＋的值为 ___ ．
20. （2017·湖北黄石·3分）关于x的一元二次方程x2＋2x﹣2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ___ ．
21.（2017·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2017年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为 _____ ．
22. （2017·四川眉山·3分）设m、n是一元二次方程x2＋2x﹣7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝ ．
三、解答题
23．（2017·四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x＋（2m＋1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．
18m
苗圃园
图14
24．（2017·四川内江12分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
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25.（2017·黑龙江齐齐哈尔·5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2＋2x﹣15＝0．
26．（2017·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
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27.（2017·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
28. （2017·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2017年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2017年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
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29. （2017·山东潍坊）关于x的方程3x2＋mx﹣8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．
30．（2017·山东省德州市·4分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
31．（2017·山东省济宁市·3分）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
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32.（2017·广西百色·10分）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
33.（2017贵州毕节）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2017年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
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答案
一元二次方程及其应用
一、选择题
1. （2017·湖北随州·3分）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2017年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1＋2x）＝28.8 B．28.8（1＋x）2＝20
C．20（1＋x）2＝28.8 D．20＋20（1＋x）＋20（1＋x）2＝28.8
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2017年约为28.8万人次”，可得出方程．
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1＋x）2＝28.8，
故选C．
2. （2017·江西·3分）设α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2＋2x﹣1＝0的两个根，
∴αβ＝，
故选D．
3.（2017·四川攀枝花）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2＋ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2＋ax﹣a2＝0，得：
4﹣3a﹣a2＝0，即a2＋3a﹣4＝0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a＋4）＝0，
∴a﹣1＝0，或a＋4＝0，
解得：a＝1或﹣4，
故选：C．
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【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4．（2017·广西桂林·3分）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得：k＜5且k≠1．
故选B．
5.（2017·贵州安顺·3分）已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（ ）
A．b＝﹣3 B．b＝﹣2 C．b＝﹣1 D．b＝2
【分析】根据判别式的意义，当b＝﹣1时△＜0，从而可判断原命题为是假命题．
【解答】解：△＝b2﹣4，当b＝﹣1时，△＜0，方程没有实数解，
所以b取﹣1可作为判断命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，必有实数解”是假命题的反例．
故选C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6．（2017广西南宁3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和正比例函数y＝x的图象如图所示，则方程ax2＋（b﹣）x＋c＝0（a≠0）的两根之和（ ）
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A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】设ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1＋x2＞0，a＞0，设方程ax2＋（b﹣）x＋c＝0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：设ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知x1＋x2＞0，a＞0，
∴﹣＞0．
设方程ax2＋（b﹣）x＋c＝0（a≠0）的两根为a，b，则a＋b＝﹣＝﹣＋，
∵a＞0，∴＞0，∴a＋b＞0．故选C．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
7. （2017·云南省昆明市·4分）一元二次方程x2﹣4x＋4＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】根的判别式．
【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△＝0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．
【解答】解：在方程x2﹣4x＋4＝0中，
△＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
∴该方程有两个相等的实数根．
故选B．
8.(2017河北3分）a，b，c为常数，且（a－c）2>a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
答案：Ｂ
解析：由（a－c）2>a2＋c2得出－２ac＞０，因此△＝b２－４ac＞０，所以两根，故选Ｂ项。
知识点：根的判别式△＝b２－４ac，大于零，２根；等于零２同根；小于零，无根。
9．（2017·四川泸州）若关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1
【考点】根的判别式．
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【分析】直接利用根的判别式进而分析得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2＋2（k﹣1）x＋k2﹣1＝0有实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k＋8≥0，
解得：k≤1．
故选：D．
10.（2017·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m＋1）x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
【考点】解一元二次方程－因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】把x＝3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【解答】解：把x＝3代入方程得9﹣3（m＋1）＋2m＝0，
解得m＝6，
则原方程为x2﹣7x＋12＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4＋4＋3＝11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3＋3＋4＝10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．
11．（2017·湖北荆门·3分）若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7 C．x1＝1，x2＝﹣7 D．x1＝﹣1，x2＝7
【考点】二次函数的性质；解一元二次方程－因式分解法．
【分析】先根据二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3求出m的值，再把m的值代入方程x2＋mx＝7，求出x的值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，
∴﹣＝3，解得m＝﹣6，
∴关于x的方程x2＋mx＝7可化为x2﹣6x﹣7＝0，即（x＋1）（x﹣7）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7．
故选D．
12.（2017·内蒙古包头·3分）若关于x的方程x2＋（m＋1）x＋＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（ ）
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A．﹣ B． C．﹣或 D．1
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由根与系数的关系可得：x1＋x2＝﹣（m＋1），x1•x2＝，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值．
【解答】解：由根与系数的关系可得：
x1＋x2＝﹣（m＋1），x1•x2＝，
又知个实数根的倒数恰是它本身，
则该实根为1或﹣1，
若是1时，即1＋x2＝﹣（m＋1），而x2＝，解得m＝﹣；
若是﹣1时，则m＝．
故选：C．
13. （2017·山东潍坊·3分）关于x的一元二次方程x2﹣x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】根的判别式；特殊角的三角函数值．
【分析】由方程有两个相等的实数根，结合根的判别式可得出sinα＝，再由α为锐角，即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x＋sinα＝0有两个相等的实数根，
∴△＝﹣4sinα＝2﹣4sinα＝0，
解得：sinα＝，
∵α为锐角，
∴α＝30°．
故选B．
二、填空题
14. （2017·辽宁丹东·3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 60（1＋x）2＝100 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意可得：60（1＋x）2＝100．
故答案为：60（1＋x）2＝100．
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15．（2017·山东省菏泽市·3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝ 6 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】推理填空题．
【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16.（2017河南）若关于x的一元二次方程x2＋3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣ ．
【考点】根的判别式；解一元一次不等式．
【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2＋3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝32﹣4×1×（﹣k）＝9＋4k＞0，
解得：k＞﹣．
故答案为：k＞﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．
17.（2017·山东省德州市·4分）方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x12＋x22＝ ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得出“x1＋x2＝﹣＝，x1•x2＝＝﹣”，再利用完全平方公式将x12＋x22转化成﹣2x1•x2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝﹣＝，x1•x2＝＝﹣，
∴x12＋x22＝﹣2x1•x2＝﹣2×（﹣）＝．
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故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x1＋x2＝，x1•x2＝﹣．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将原代数式转化成只含两根之和与两根之积的代数式是关键．
18．（2017·四川宜宾）已知一元二次方程x2＋3x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x12＋x1x2＋x22＝ 13 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1＋x2＝﹣3，x1x2＝﹣4，再利用完全平方公式变形得到x12＋x1x2＋x22＝（x1＋x2）2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1＋x2＝﹣3，x1x2＝﹣4，
所以x12＋x1x2＋x22＝（x1＋x2）2﹣x1x2＝（﹣3）2﹣（﹣4）＝13．
故答案为13．
19．（2017·四川攀枝花）设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则＋的值为 ﹣ ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1＋x2、x1•x2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．
【解答】解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝﹣，
∴＋＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝﹣，x1•x2＝．
20. （2017·湖北黄石·3分）关于x的一元二次方程x2＋2x﹣2m＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 m＞ ．
【分析】设x1、x2为方程x2＋2x﹣2m＋1＝0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：设x1、x2为方程x2＋2x﹣2m＋1＝0的两个实数根，
由已知得：，即
解得：m＞．
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故答案为：m＞．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
21.（2017·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2017年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为 100（1＋x）2＝169 ．
【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
100（1＋x）2＝169，
故答案为：100（1＋x）2＝169．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的方程．
22. （2017·四川眉山·3分）设m、n是一元二次方程x2＋2x﹣7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝ 5 ．
【分析】根据根与系数的关系可知m＋n＝﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2＋2m﹣7＝0，最后可将m2＋3m＋n变成m2＋2m＋m＋n，最终可得答案．
【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2＋2x﹣7＝0的两个根，
∴m＋n＝﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2＋2m﹣7＝0，即m2＋2m＝7，
∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋m＋n＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m2＋3m＋n转化为m2＋2m＋m＋n的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
三、解答题
23．（2017·四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x＋（2m＋1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4（2m＋1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，再利用2x1x2＋x1＋x2≥20得到2（2m＋1）＋6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．
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【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣6）2﹣4（2m＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
而2x1x2＋x1＋x2≥20，
所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根与系数的关系．
24．（2017·四川内江12分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
18m
苗圃园
图14
[考点]应用题，一元二次方程，二次函数。
解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程
x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0． 2分
解得x1＝3，x2＝12． 4分
(2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．
面积S＝x(30－2x)＝－2(x－)2＋(6≤x≤11)．
①当x＝时，S有最大值，S最大＝； 6分
②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88． 8分
(3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0．
解得x1＝5，x2＝10． 10分
∴x的取值范围是5≤x≤10． 12分
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25.（2017·黑龙江齐齐哈尔·5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2＋2x﹣15＝0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x2＋2x﹣15＝0得出x2＋2x＝15，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
∵x2＋2x﹣15＝0，
∴x2＋2x＝15，
∴原式＝．
26．（2017·湖北荆州·12分）已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k＝m＋2，n＝1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k＝m＋2，n＝1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m＝1和﹣1，分别代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k＝﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．
【解答】解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x＝≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0有两个整数根x1、x2，且k＝m＋2，n＝1时，
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∴把k＝m＋2，n＝1代入原方程得：﹣mx2＋3mx＋（1﹣m）＝0，即：mx2﹣3mx＋m﹣1＝0，
∴△≥0，即△＝（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△＝9m2﹣4m（m﹣1）＝m（5m＋4），
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1＋x2＝3，x1•x2＝＝1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m＝1或﹣1，
∴把m＝1代入方程mx2﹣3mx＋m﹣1＝0得：x2﹣3x＋1﹣1＝0，
x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
x1＝0，x2＝3；
把m＝﹣1代入方程mx2﹣3mx＋m﹣1＝0得：﹣x2＋3x﹣2＝0，
x2﹣3x＋2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x1＝1，x2＝2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k＝﹣1，
（2﹣k）x2＋3mx＋（3﹣k）n＝0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1＋x2＝﹣＝＝﹣m，x1x2＝＝，
x1（x1﹣k）＋x2（x2﹣k）＝（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k＋x22﹣x2k＝x1x2﹣x1k﹣x2k＋k2，
x12＋x22═x1x2＋k2，
（x1＋x2）2﹣2x1x2﹣x1x2＝k2，
（x1＋x2）2﹣3x1x2＝k2，
（﹣m）2﹣3×＝（﹣1）2，
m2﹣4＝1，
m2＝5，
m＝±，
∴|m|≤2不成立．
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【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
27.（2017·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积＝横彩条面积＋2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；
（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．
【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，
∴y＝20×x＋2×12•x﹣2×x•x＝﹣3x2＋54x，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x2＋54x；
（2）根据题意，得：﹣3x2＋54x＝×20×12，
整理，得：x2﹣18x＋32＝0，
解得：x1＝2，x2＝16（舍），
∴x＝3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
28. （2017·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2017年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2017年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
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【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）利用2017年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2017年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1＋a）2＝2205
解此方程：（1＋a）2＝，
即：，（不符合题意，舍去）
答：2017年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
29. （2017·山东潍坊）关于x的方程3x2＋mx﹣8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由于x＝是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后由根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为t．
依题意得：3×（）2＋m﹣8＝0，
解得m＝10．
又t＝﹣，
所以t＝﹣4．
综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．
30．（2017·山东省德州市·4分）某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
第1天
第2天
第3天
第4天
售价x（元/双）
150
200
250
300
销售量y（双）
40
30
24
20
（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
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【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）由表中数据得出xy＝6000，即可得出结果；
（2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验．
【解答】解：（1）由表中数据得：xy＝6000，
∴y＝，
∴y是x的反比例函数，
故所求函数关系式为y＝；
（2）由题意得：（x﹣120）y＝3000，
把y＝代入得：（x﹣120）•＝3000，
解得：x＝240；
经检验，x＝240是原方程的根；
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【点评】本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键．
31．（2017·山东省济宁市·3分）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：2014年投入资金给×（1＋增长率）2＝2017年投入资金，列出方程组求解可得；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数＋1000户以后获得的奖励总和≥500万，列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1＋x）2＝1280＋1600，
解得：x＝0.5或x＝﹣2.25（舍），
答：从2014年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：1000×8×400＋（a﹣1000）×5×400≥5000000，
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解得：a≥1900，
答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
32.（2017·广西百色·10分）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×宽＝面积，求出即可；
（2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可．
【解答】（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：
x（20﹣x）＝96，
解得x1＝12，x2＝8（舍去），
答：这地面矩形的长是12米；
（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96×（0.80×0.80）×55＝8250（元）．
规格为1.00×1.00所需的费用：96×（1.00×1.00）×80＝7680（元）．
因为8250＜7680，
所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．
33.（2017贵州毕节）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2017年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2017年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；
（2）根据2017年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2017年该县投入教育经费为8640×（1＋0.2），再进行计算即可．
【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：
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6000（1＋x）2＝8640
解得：x＝0.2＝20%，
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；
（2）因为2017年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，
所以2017年该县投入教育经费为：y＝8640×（1＋0.2）＝10368（万元），
答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．
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