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2018年普通高等学校招生全国统一考试
（包头市第一次模拟考试）
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意复数满足，则，所以，故选A．
2. 已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 由题意，
则，故选D．
3. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则该竹子最上面一节的容积为（ ）
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
【答案】C
【解析】 设竹子自上而下各节的容积分别为，且为等差数列，
根据题意得，
即 ，解得，即最上面一节的容积为升，故选C．
4. 若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
目标函数，可化为，
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由图可知，当直线过点时，得到目标函数的最小值，
由，解得，则目标函数的最小值为，故选D．
5. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 由题意，二项式的展开式为，
所以，
令，则
所以，故选B．
6. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 由题意知，根据给定的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面为等腰直角三角形，且腰长为，侧棱长为的直三棱柱，右侧为一个底面为等腰直角三角形，且腰长为，高为的三棱锥，所以该几何体的体积为，
故选C．
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7. 若双曲线：的离心率为，一条渐近线的倾斜角为，则的值（ ）
A. 大于 B. 等于
C. 小于 D. 不能确定，与，的具体值有关
【答案】B
【解析】 由双曲线的方程，得其一条渐近线的方程为，
所以，且，所以，
所以，故选B．
8. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 模拟执行程序，可得，
执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
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满足条件，执行循环体，；
满足条件，执行循环体，；
此时不满足条件，退出循环，输出的值，故选B．
点睛：算法时新课程的新增加的内容，也必然是新高考的一个热点，应高度重视，程序填空与选择是重要的考查和命题方式，这种试题考查的重点有：①条件分支结构；②循环结构的添加循环条件；③变量的赋值；④变量的输出等，其中前两点是考试的重点，此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
9. 现有张牌（1）、（2）、（3）、（4），每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母。现在规定：当牌的一面为字母时，它的另一面必须写数字.你的任务是：为检验下面的张牌是否有违反规定的写法，你翻且只翻看哪几张牌就够了（ ）
A. 翻且只翻（1）（4） B. 翻且只翻（2）（4）
C. 翻且只翻（1）（3） D. 翻且只翻（2）（3）
【答案】A
【解析】 由题意，当牌的一面为字母时，它的另一面必须写数字，
则必须翻看（1）是否正确，这样（3）就不用翻看了，后面不能是，要查（4），
所以为了检验如图的中是否违反规定的写法，翻看（1）（4）两种牌即可，故选A．
点睛：本题考查了归纳推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．
10. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，构成四面体，则在四面体中，给出下列结论：①平面；②；③平面；④；⑤平面平面.其中正确结论的序号是（ ）
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A. ①②③⑤ B. ②③④⑤ C. ①②④⑤ D. ②④⑤
【答案】C
【解析】 如图所示，因为分别为的中点，所以，
因为，所以折叠后，
所以平面，所以①正确的；
由平面，平面，所以，所以②正确的；
由平面，根据过一点有且只有一条直线垂直于一个平面，
所以平面是不正确的，所以③不正确；
由，可得平面，又平面，
所以，所以④正确的；
由平面，又平面，所以平面平面，
所以⑤是正确的，
综上可知，正确的结论序号为①②④⑤，故选C．
11. 已知函数 ，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 由函数，
可得，
所以函数为奇函数，
又，因为，所以，
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所以函数为单调递增函数，
因为，即，
所以，解得，故选D．
点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．
12. 已知是圆的直径，是圆的弦上一动点，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设点，则，
所以
则，
又因为，且在弦上一动点，所以，
其中当取的中点时取得最小值，所以，故选D．
点睛：本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解答的关键是建立适当的直角坐标系，表示出向量的坐标，再利用圆的性质求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，对于平面向量的运算问题，通常有两种方法：一是建立平面的基底，利用基底运算；二是建立适当的平面直角坐标系，转化为坐标运算即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
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13. 某人随机播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，则甲、乙首歌曲至少有首被播放的概率是__________．
【答案】
【解析】由题得所有基本事件为：（甲乙），（甲丙）（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放得基本事件有（甲乙），（甲丙）（甲丁），（乙丙），（乙丁）所以甲、乙2首歌曲至少有1首被播放
的概率是
14. 设函数，，为图象的对称轴，为的零点，且的最小正周期大于，则__________．
【答案】
【解析】 函数 ，为图象的对称轴，
为的零点，
所以，
所以且，
两式相减，
在根据的最小正周期，可得，
所以，再把代入，可得，令，可得．
15. 设数列的前项和为，若，，，则__________．
【答案】66
【解析】由，即，所以，
又，所以，则．
点睛：本题考查了数列的递推关系和数列的与关系式的应用，其中解答中根据题设条件，利用，把条件转化是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．
16. 在平面直角坐标系中，双曲线的左支与焦点为的抛物线
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交于，两点.若，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】 把代入双曲线，
可得 ，所以，
因为，所以，
所以，所以，则．
点睛：本题考查了抛物线与双曲线的定义、标准方程及其性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系的应用，对于直线与圆锥曲线问题，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）已知条件是边角关系，且左边是角的余弦，要求的是，因此可用正弦定理“化边为角”，即，只要交叉相乘，再由两角和与差的正弦公式可得，而在三角形中此式即为，结论有了；（2）由（1）可得，结合余弦定理可求得，由面积公式可得．
试题解析：（1）由正弦定理得
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整理得
又∴，即
（2）由余弦定理可知①
由（1）可知，即②
再由③， 由①②③联立求得
又∴
考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积．
18. 如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）由已知，取的中点，连接，，得到，利用线面平行的判定定理，即可得到平面.
（2）建立空间直角坐标系，求解平面平面和平面的法向量，利用向量夹角公式，即可求解二面角的大小．
试题解析：
（1）由已知得，
取的中点，连接，，
由为的中点知，，
又，故，
所以四边形为平行四边形，于是，
平面，平面，
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所以平面.
（2）取的中点，连接.
由得，从而，
且 .
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意知，，，，，
，，.
设为平面的法向量，则，
即，可取.
设为平面的法向量，
则，即，可取.
于是 ，
.
所以二面角的正弦值为.
19. 某地区对一种新品种小麦在一块试验田进行试种.从试验田中抽取株小麦，测量这些小麦的生长指标值，由测量结果得如下频数分布表：
生长指标值分组
频数
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（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
（2）求这株小麦生长指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）由直方图可以认为，这种小麦的生长指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
①利用该正态分布，求；
②若从试验田中抽取株小麦，记表示这株小麦中生长指标值位于区间的小麦株数，利用①的结果，求.
附：.
若，则，
.
【答案】（1）见解析；（2）平均数200，方差150；（3）①0.6826；②68.26.
【解析】试题分析：（1）根据题设中的数据，即可画出频率分布直方图；
（2）利用平均数和方差的计算公式，即可求得平均数，．
（3）①由（1）知，从而.
②由①知，随机变量服从二项分布，利用公式即可求解期望．
试题解析：
（1）画图.
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（2）抽取小麦的生长指标值的样本平均数和样本方差分别为
，
.
（3）①由（1）知，从而
.
②由①知，一株小麦的生长指标值位于区间的概率为，
依题意知，
所以.
20. 已知，是椭圆：的左右两个焦点，，长轴长为，又，分别是椭圆上位于轴上方的两点，且满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）求四边形的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由题意，求得的值，进而由，得到的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设，，由，得，设直线的方程为，
代入椭圆方程得，求得，求得的值，进而求解四边形的面积．
试题解析：
（1）由题意知，，所以，.
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所以，椭圆的方程为.
（2）设，，又，，
所以，，
由，得，.
延长交椭圆于，
因为，所以，且.
所以线段为的中位线，即为线段的中点，
所以.
设直线的方程为，
代入椭圆方程得，，即.
所以，，
消去，得，依题意取.
.
点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
21. 已知函数，.
（1）若时，求函数的最小值；
（2）若，证明：函数有且只有一个零点；
（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）最小值；（2）见解析；（3）.
【解析】试题分析：（1）当时，
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，求出函数的导数，得到极值点，然后判断函数的单调性，求解函数的最小值；
（2）由，得，当时，函数在上最多有一个零点，当时，，，即可得到结论；
（3）由（2）知，当时，在上最多有一个零点，当，函数，得，令，利用的取值，得到函数在上单调递减；在上单调递增，要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即，进而求解实数的取值范围．
试题解析：
（1）当时，，
所以 .
令，得，当时，；
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值.
（2）由，得 ，
所以当时，，
函数在上单调递减，所以当时，在上最多有一个零点.
因为当时，，，
所以当时，函数在上有零点.
综上，当时，函数有且只有一个零点.
（3）由（2）知，当时，在上最多有一个零点.
因为有两个零点，所以.
由，得.
令，
因为，，所以在上只有一个零点，
设这个零点为，
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当时，，；
当时，，；
所以函数在上单调递减；在上单调递增.
要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，即.
因为，
所以
，
可得，
又因为在上是增函数，且，
所以，，
由，得 ，
所以，即.
以下验证当时，函数有两个零点.
当时， ，，
所以.
因为 ，且，
所以函数在上有一个零点.
又因为 （因）.
且，所以在上有一个零点.
所以当时，函数在内有两个零点.
综上，实数的取值范围是.
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，函数的证明和函数的零点问题，考查了分类讨论思想和转化与化归思想，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)
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最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．
（二）选考题：共10分.请考生在第22题和第23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若时，求与的交点坐标；
（2）若上的点到距离的最大值为，求.
【答案】（1），；（2）或.
【解析】试题分析：（1）根据参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，求得曲线的直角坐标方程，联立方程组，即可求解交点的坐标；
（2）由曲线的参数方程，设上的点，求得点到的距离，根据三角函数的图象与性质，得出的最大值，从而的值．
试题解析：
（1）曲线的普通方程为，
当时，直线的普通方程为，
由，解得，或，
从而与的交点坐标为，.
（2）直线的普通方程为，
设的参数方程为（为参数），
则上的点到的距离为
.
当时，的最大值为 ，
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由题设得，所以，
当时，的最大值为，
由题设得，所以，
综上，或.
23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）代入时，不等式等价于 ，分类讨论即可求解不等式的解集；
（2）由题意的解集包含，等价于时，，求得函数的最大值，列出不等式，即可求解实数的取值范围．
试题解析：
（1）当时，不等式等价于 ，①
当时，①式化为，无解；
当时，①式化为，得；
当时，①式化为，得.
所以的解集为.
（2）当时，，
所以的解集包含，等价于时.
又在上的最大值为.
所以，即，得.
所以的取值范围为.
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