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C B
A
（第 6 题图）
2018 年松江区初中毕业生学业模拟考试
初三数学
（满分 150 分，完卷时间 100 分钟） 2018.4
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共 25 题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答
题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证
明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上】
1．下列根式中，与 3 是同类二次根式的为（▲）
（A） 0.3 ； （B） 1
3
； （C） 13 ； （D） 30 .
2．下列运算正确的是（▲）
（A） 532 xxx ； （B） 532 xxx ； （C） 2 3 5( )x x ； （D） 6 2 3x x x ．
3．下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的为（▲）
（A）正三角形； （B）等腰梯形； （C）平行四边形； （D）菱形．
4．关于反比例函数 2y x
，下列说法中错误的是（▲）
（A）它的图像是双曲线；
（B）它的图像在第一、三象限；
（C） y 的值随 x 的值增大而减小；
（D）若点（a，b）在它的图像上，则点（b，a）也在它的图像上.
5．将一组数据中的每一个数都加上 1 得到一组新的数据，那么下列四个统计量中，值保持
不变的是（▲）
（A）方差； （B）平均数； （C）中位数； （D）众数.
6．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙B 的半径
为 1，已知⊙A 与直线 BC 相交，且与⊙B 没有公共点，那么
⊙A 的半径可以是（▲）
（A）4； （B）5；
（C）6； （D）7.牛人数学助你上名校 初三数学 第 2页 共 4 页
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．因式分解： 3 4a a = ▲ ．
8．方程 2x x 的根是 ▲ ．
9．函数 3
2
xy x
的定义域是 ▲ ．
10．已知方程 2 4 0x x m 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ▲ ．
11．把抛物线 22y x 向左平移 1 个单位，则平移后抛物线的表达式为 ▲ ．
12．函数 y kx b 的图像如图所示，则当 0y 时， x 的取值范围是 ▲ ．
13．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，随机投掷这枚骰子，那
么向上一面的点数为合数的概率是 ▲ ．
14．某区有 4000 名学生参加学业水平测试，从中随机抽取 500 名，对测试成绩进行了统计，
统计结果见下表：
成绩（x） x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
人数 15 59 78 140 208
那么根据上述数据可以估计该区这次参加学业水平测试成绩小于 60 分的有 ▲ 人．
15．如图，在△ABC 中，D 是 AB 的中点，E 是 AC 上一点，且 AE=2EC，如果 AB a
uuur r
，AC b
uuur r
，
那么 DE
uuur
=▲ ．（用 a
r
、 b
r
表示）．
16．一个正 n 边形的一个内角等于它的中心角的 2 倍，则 n=▲ ．
17．平面直角坐标系 xoy 中，若抛物线 2y ax 上的两点 A、B 满足 OA=OB，且 1tan 2OAB ，
则称线段 AB 为该抛物线的通径．那么抛物线 21
2y x 的通径长为 ▲ ．
18．如图，已知平行四边形 ABCD 中，AC=BC，∠ACB=45°，将三角形 ABC 沿着 AC 翻折，
点 B 落在点 E 处，联结 DE，那么 DE
AC
的值为 ▲ ．微信 13524602295 更多资料
A
C
D
E
(第 15 题图)B
0-1 x
y
(第 12 题图) (第 18 题图)
A D
CB牛人数学助你上名校 初三数学 第 3页 共 4 页
B
(第 21 题图)
D
A
C
B
E
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算： 0 13 1 3 8
3 2
．
20．（本题满分 10 分）
解不等式组：
2 3
121 3 6
x x
x x
并把解集在数轴上表示出来．
21.（本题满分 10 分, 每小题各 5 分）
如图，已知△ABC 中，∠B=45°， 1tan 2C ，
BC=6.
（1）求△ABC 面积；
（2）AC 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 BC 于
点 E. 求 DE 的长．
22．（本题满分 10 分）
某条高速铁路全长 540 公里，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车
的平均速度比动车组列车每小时快 90 公里，因此全程少用 1 小时，求高铁列车全程的运行
时间．
23.（本题满分 12 分，第（1）小题满分 7 分，第（2）小题满分 5 分）
如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠D=90°，BE 平分∠ABC，交 CD 于点 E，
F 是 AB 的中点，联结 AE、EF，且 AE⊥BE．
求证：（1）四边形 BCEF 是菱形；
（2） 2BE AE AD BC .
C
0 1 2 3 4 5–4 –3 –2 –1–5
(第 23 题图)
FA
CD E
B牛人数学助你上名校 初三数学 第 4页 共 4 页
24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分）
如图，已知抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1， 1 ），P 是抛物线上位于第一象限内的一
点，直线 OP 交该抛物线对称轴于点 B，直线 CP 交 x 轴于点 A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如果点 P 的横坐标为 m，试用 m 的代数式表示线段 BC 的长；
（3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点 P 坐标．
25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题每个小题各 5 分）
如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点 C 为圆心、CB 为半径的圆
交 AB 于点 D，过点 A 作 AE∥CD，交 BC 延长线于点 E.
（1）求 CE 的长；
（2）P 是 CE 延长线上一点，直线 AP、CD 交于点 Q.
1 如果△ACQ ∽△CPQ，求 CP 的长；
2 如果以点 A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求 CP 的长.
(第 24 题图)
y
P
O x
C
B
A
(第 25 题图)
CB
A
D
E
(备用图)
CB
A
D
E牛人数学助你上名校 初三数学 第 5页 共 4 页
松江区初三调研考数学卷参考答案 2018.4
一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）
1．B; 2．B; 3. D; 4. C; 5. A; 6. D;
二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7. ( 2)( 2)a a a ; 8. 2x ; 9. 0x ; 10. 4m ; 11． 22( 1)y x ;
12. 1x ; 13. 1
3 ;
14. 120; 15. 1 2
2 3a b
rr
;
16. 6; 17. 2; 18. 2 1 .
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．（本题满分 10 分）
计算： 0 13 1 3 8
3 2
．
解：原式=1 ( 3 1) 3 2 2 2 ……………………………（每个 2 分）
= 2 2 ……………………………………………………………2 分
20．（本题满分 10 分）
解不等式组：
2 3
121 3 6
x x
x x
并把解集在数轴上表示出来．
解：由① 得 3x ．………………………………………………………………（2 分）
由② 得 6 2 12x x …………………………………………………………（2 分）
3 6x …………………………………………………………（1 分）
解得 2x ．………………………………………………………………（2 分）
所以，原不等式组的解集是 2 3x ．…………………………………………（1 分）
在数轴上表示不等式组的解集，正确得 2 分（端点有一处错误，扣 1 分）．
21.（本题满分 10 分, 每小题各 5 分）
解：（1）过点 A 作 AH⊥BC 于点 H…………1 分
在 Rt ABC 中，∠B=45°
设 AH =x ,则 BH=x………………………………1 分
0 1 2 3 4 5–4 –3 –2 –1–5
(第 21 题图)
D
A
C
B
E牛人数学助你上名校 初三数学 第 6页 共 4 页
在 Rt AHC 中， 1tan 2
AHC HC
∴HC=2x………………………………………………………1 分
∵BC=6
∴x+2x=6 得 x=2
∴AH=2…………………………………………………………1 分
∴ 1 62ABCS BC AH ……………………………………1 分
(2)由（1）得 AH=2，CH=4
在 Rt AHC 中， 2 2 2 5AC AH HC …………………2 分
∵DE 垂直平分 AC
∴ 1 52CD AC
ED⊥AC …………………………………………………1 分
在 Rt EDC 中， 1tan 2
EDC CD
……………………………1 分
∴ 1 52DE ………………………………………………1 分
22．（本题满分 10 分）
解：设高铁列车全程的运行时间为 x 小时，…（1 分）
则动车组列车全程的运行时间为(x+1)小时，…（1 分）
∴ 540 540 901x x
,……………………………………………（3 分）
6 6 11x x
．………………………………………………（1 分）
2 6 0x x …………………………………………………（1 分）
1 22, 3x x ………………………………………………（1 分）
经检验：它们都是原方程的根，但 3x 不符合题意．……（1 分）
答：高铁列车全程的运行时间为 2 小时．…………………（1 分）
23.（本题满分 12 分，第（1）小题满分 7 分，第（2）小题满分 5 分）
证明：
(1) ∵BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE…………………………………………………1 分
∵AE⊥BE
∴∠AEB=90°
∵F 是 AB 的中点
∴ 1
2EF BF AB ………………………………………………1 分
C牛人数学助你上名校 初三数学 第 7页 共 4 页
∴∠FEB =∠FBE…………………………………………………1 分
∴∠FEB =∠CBE…………………………………………………1 分
∴EF∥BC…………………………………………………1 分
∵AB∥CD
∴四边形 BCEF 是平行四边形…………………………1 分
∵ EF BF
∴四边形 BCEF 是菱形……………………………………1 分
(2) ∵四边形 BCEF 是菱形,
∴BC=BF
∵ 1
2BF AB
∴AB=2BC ………………………………………………1 分
∵ AB∥CD
∴ ∠DEA=∠EAB
∵ ∠D=∠AEB
∴ △EDA∽△AEB………………………………………2 分
∴
AD AE
BE AB
…………………………………………1 分
∴ BE·AE=AD·AB
∴ 2BE AE AD BC …………………………………1 分
24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分）
解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1， 1 ）
∴
1
12
a b
b
a
…………………………………2 分
解得： 1
2
a
b
…………………………………1 分
∴抛物线的表达式为：y=x2-2x；…………………………1 分
（2）∵点 P 的横坐标为 m，
∴P 的纵坐标为：m2-2m……………………………1 分
令 BC 与 x 轴交点为 M，过点 P 作 PN⊥x 轴，垂足为点 N
∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点，
∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1
(第 24 题图)
y
P
O x
C
B
A
(第 23 题图)
FA
CD E
B牛人数学助你上名校 初三数学 第 8页 共 4 页
由 PN BM
ON OM
得
2 2
1
m m BM
m
………………………1 分
∴ BM=m-2…………………………………………………1 分
∵ 点 C 的坐标为（1， 1 ），
∴ BC= m-2+1=m-1………………………………………1 分
（3）令 P(t，t2-2t) ………………………………………………1 分
△ABP 的面积等于△ABC 的面积
∴AC=AP
过点 P 作 PQ⊥BC 交 BC 于点 Q
∴CM=MQ=1
∴t2-2t=1 …………………………………………………1 分
∴ 1 2t （ 1 2t 舍去）………………………………1 分
∴ P 的坐标为（1 2,1 ）……………………………………1 分
25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题每个小题各 5 分）
解：（1）∵AE∥CD
∴ BC DC
BE AE
…………………………………1 分
∵BC=DC
∴BE=AE …………………………………1 分
设 CE=x
则 AE=BE=x+2
∵ ∠ACB=90°，
∴ 2 2 2AC CE AE
即 2 29 ( 2)x x ………………………1 分
∴ 5
4x
即 5
4CE …………………………………1 分
（2）①
∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P
∴∠ACQ=∠P…………………………………1 分
又∵AE∥CD
∴∠ACQ=∠CAE
∴∠CAE=∠P………………………………1 分
CB
A
D
E P
Q
(第 25 题图)
CB
A
D
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∴△ACE ∽△PCA，…………………………1 分
∴ 2AC CE CP …………………………1 分
即 2 53 4 CP
∴ 36
5CP ……………………………1 分
②设 CP=t，则 5
4PE t
∵∠ACB=90°，
∴ 29AP t
∵AE∥CD
∴ AQ EC
AP EP
……………………………1 分
即
2
5
54
5 4 59
4
AQ
tt t
∴
25 9
4 5
tAQ t
……………………………1 分
若两圆外切，那么
25 9 14 5
tAQ t
此时方程无实数解……………………………1 分
若两圆内切切，那么
25 9 54 5
tAQ t
∴ 215 40 16 0t t
解之得 20 4 10
15t ………………………1 分
又∵ 5
4t
∴ 20 4 10
15t ………………………1 分
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