初三数学试卷 共 4 页 第 1页
2017 学年长宁区第二学期初三数学教学质量检测试卷
(考试时间:100 分钟 满分:150 分)
考生注意:
1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本
试卷上答题一律无效.
2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题(本大题共 6 题, 每题 4 分, 满分 24 分)
【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂】
1.函数 12 xy 的图像不经过( ▲ )
(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限.
2.下列式子一定成立的是( ▲ )
(A) aaa 632 ; (B) 428 xxx ;
(C)
a
a 12
1
; (D) 6
32 1)(
a
a .
3.下列二次根式中, 2 的同类二次根式是( ▲ )
(A) 4 ; (B) x2 ; (C)
9
2 ; (D) 12 .
4.已知一组数据 2、x、8、5、5、2 的众数是 2,那么这组数据的中位数是( ▲ )
(A) 3.5; (B) 4; (C) 2; (D)6.5.
5.已知圆 A 的半径长为 4,圆 B 的半径长为 7,它们的圆心距为 d,要使这两圆没有公共点,
那么 d 的值可以取( ▲ )
(A) 11; (B) 6; (C) 3; (D)2.
6.已知在四边形 ABCD 中,AD//BC,对角线 AC、BD 交于点 O,且 AC=BD,
下列四个命题中真命题是( ▲ )
(A) 若 AB=CD,则四边形 ABCD 一定是等腰梯形;
(B) 若∠DBC=∠ACB,则四边形 ABCD 一定是等腰梯形;
(C) 若
OD
CO
OB
AO ,则四边形 ABCD 一定是矩形;
(D) 若 AC⊥BD 且 AO=OD,则四边形 ABCD 一定是正方形.初三数学试卷 共 4 页 第 2页
二、填空题(本大题共 12 题, 每题 4 分, 满分 48 分)
【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7. 计算: 0)3(30sin ▲ .
8. 方程 6 xx 的解是 ▲ .
9. 不等式组
1)12(3
03
x
x
的解集是 ▲ .
10.已知反比例函数
x
ky 的图像经过点(-2017,2018),当 0x 时,函数值 y 随
自变量 x 的值增大而 ▲ .(填“增大”或“减小”)
11.若关于 x 的方程 032 mxx 有两个相等的实数根,则 m 的值是 ▲ .
12.在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的 5 张纸片中随机抽取一张,
抽到中心对称图形的概率是 ▲ .
13.抛物线 522 mxmxy 的对称轴是直线 ▲ .
14.小明统计了家里 3 月份的电话通话清单,按通话时间画出
频数分布直方图(如图所示),则通话时间不足 10 分钟的
通话次数的频率是 ▲ .
15.如图,在四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是边 AB、AD 的中点,
BC=15,CD=9,EF=6,∠AFE=50°,则∠ADC 的度数为 ▲ .
16.如图,在梯形 ABCD 中,AB//CD,∠C=90°,BC=CD=4, 52AD ,
若 aAD , bDC ,用 a 、b 表示 DB ▲ .
17.如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半,
那么我们把这个三角形叫做半高三角形.已知直角三角形 ABC
是半高三角形,且斜边 5AB ,则它的周长等于 ▲ .
18.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 BD 的长为 1,点 P 是线段 BD
上的一点,联结 CP,将△BCP 沿着直线 CP 翻折,若点 B 落在
边 AD 上的点 E 处,且 EP//AB,则 AB 的长等于 ▲ .
第 14 题图
A
B C
D
E
F
第15题图
第 16 题图
D C
BA
第 18 题图
A
B C
D初三数学试卷 共 4 页 第 3页
三、解答题(本大题共 7 题, 满分 78 分)
【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】
19.(本题满分 10 分)
先化简,再求值:
12
34
1
3
1
1
2
2
2
xx
xx
x
x
x
,其中
12
1
x .
20.(本题满分 10 分)
解方程组:
12
065 22
.
,
yx
yxyx
21.(本题满分 10 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分)
如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,点 D 在 BA 的延长线上,BC=24,
13
5sin ABC .
(1)求 AB 的长;
(2)若 AD=6.5,求 DCB 的余切值.
22.(本题满分 10 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分)
某旅游景点的年游客量 y(万人)是门票价格 x(元)的一次函数,其函数图像如下图.
(1)求 y 关于 x 的函数解析式;
(2)经过景点工作人员统计发现:每卖出一张门票
所需成本为 20 元.那么要想获得年利润 11500 万元,
且门票价格不得高于 230 元,该年的门票价格应该定为多少元?
23.(本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分)
如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,E 在 BC 的延长线,联结 AE 分别交 BD、CD 于点
G、F,且
AG
GF
BE
AD .
(1)求证:AB//CD;
(2)若 BDGDBC 2 ,BG=GE,求证:四边形 ABCD 是菱形.
A
C
D
B
第 21 题图
第 22 题图
A
C
D
E
F
G
B
第 23 题图初三数学试卷 共 4 页 第 4页
24.(本题满分 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 5 分)
如图在直角坐标平面内,抛物线 32 bxaxy 与 y 轴交于点 A,与 x 轴分别交于点 B(-1,0)、
点 C(3,0),点 D 是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标;
(2)联结 AD、DC,求 ACD 的面积;
(3)点 P 在直线 DC 上,联结 OP,若以 O、P、C 为顶点的三角形与△ABC 相似,求点 P 的坐标.
25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 6 分)
在圆 O 中,C 是弦 AB 上的一点,联结 OC 并延长,交劣弧 AB 于点 D,联结 AO、BO、AD、BD. 已
知圆 O 的半径长为 5 ,弦 AB 的长为 8.
(1)如图 1,当点 D 是弧 AB 的中点时,求 CD 的长;
(2)如图 2,设 AC=x, yS
S
OBD
ACO
,求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域;
(3)若四边形 AOBD 是梯形,求 AD 的长.
长 宁 区 2017 学 年 第 二 学 期 初 三 数 学 参 考 答 案 和 评 分 建 议
备用图
第 24 题图
O
A
C
D
B
图 1
O
BA
C
D
图 2
BA
O
备用图
第 25 题图初三数学试卷 共 4 页 第 5页
2018.3
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分)
1.B; 2.D; 3.C; 4.A; 5.D; 6.C.
二.填空题:(本大题共 12 题,满分 48 分)
7.
2
1 ; 8. 2x ; 9. 3x ; 10.增大; 11.
4
3m ; 12.
5
3 ;
13. 1x ;14. 7.0 ;15. 140 ; 16.
ab2
1 ; 17. 255或535 ; 18.
2
15 .
三、(本大题共 7 题,第 19、20、21、22 每题 10 分,第 23、24 每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78
分)
19. (本题满分 10 分)解:原式=
)1)(3(
)1(
)1)(1(
3
1
1 2
xx
x
xx
x
x
(3 分)
= 2)1(
1
1
1
x
x
x
(2 分)
= 2)1(
11
x
xx (1 分)
= 2)1(
2
x
(1 分)
当 12
12
1
x 时,原式= 2)1(
2
x
= 2)112(
2
= 2)2(
2 =1 (3 分)
20.(本题满分 10 分)
解:方程①可变形为 0))(6( yxyx
得 06 yx 或 0 yx (2 分)
将它们与方程②分别组成方程组,得(Ⅰ)
12
06
yx
yx 或(Ⅱ)
12
0
yx
yx (2 分)
解方程组(Ⅰ)
13
1
13
6
y
x
, 解方程组(Ⅱ)
1
1
y
x (4 分)
所以原方程组的解是
13
1
13
6
1
1
y
x
,
1
1
2
2
y
x . (2 分)
另解:由②得 12 xy ③ (1 分)初三数学试卷 共 4 页 第 6页
把③代入①,得 0)12(6)12(5 22 xxxx (1 分)
整理得: 061913 2 xx (2 分)
解得: 1,13
6
21 xx (2 分)
分别代入③,得 1,13
1
21 yy (2 分)
所以原方程组的解是
13
1
13
6
1
1
y
x
,
1
1
2
2
y
x
. (2 分)
21.(本题满分 10 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分)
解:(1)过点 A 作 AE⊥BC,垂足为点 E
又∵AB=AC ∴ BCBE 2
1 ∵BC=24 ∴ BE=12 (1 分)
在 ABERt 中, 90AEB ,
13
5sin
AB
AEABC (1 分)
设 AE=5k,AB=13k ∵ 222 BEAEAB ∴ 1212 kBE
∴ 1k , ∴ 55 kAE , 1313 kAB (2 分)
(2)过点 D 作 DF⊥BC,垂足为点 F
∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5
∵AE⊥BC,DF⊥BC ∴ 90DFBAEB ∴ DFAE //
∴
BD
AB
BF
BE
DF
AE 又 ∵ AE=5,BE=12,AB=13,
∴ 18,2
15 BFDF (4 分)
∴ BFBCCF 即 61824 CF (1 分)
在 DCFRt 中, 90DFC ,
5
4
2
15
6cot
DF
CFDCB (1 分)
22.(本题满分 10 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分)
解:(1)设 )0( kbkxy ,函数图像过点(200,100), (50,250) (1 分)
代入解析式得:
25050
100200
bk
bk (2 分)初三数学试卷 共 4 页 第 7页
解之得:
300
1
b
k (1 分)
所以 y 关于 x 的解析式为: 300 xy (1 分)
(2)设门票价格定为 x 元,依题意可得:
11500)300)(20( xx (2 分)
整理得: 0175003202 xx 解之得:x=70 或者 x=250(舍去) (2 分)
答:门票价格应该定为 70 元. (1 分)
23.(本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分)
证明:(1)∵ BCAD // ∴
BG
DG
BE
AD (2 分)
∵
AG
GF
BE
AD ∴
AG
GF
BG
DG (1 分)
∴ CDAB // (2 分)
(2)∵ BCAD // , CDAB //
∴四边形 ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD (1 分)
∵ BDGDBC 2 ∴ BDGDAD 2 即
AD
GD
BD
AD
又 ∵ BDAADG ∴ ADG ∽ BDA (1 分)
∴ ABDDAG
∵ CDAB // ∴ BDCABD
∵ BCAD // ∴ EDAG
∵BG=GE ∴ EDBC ∴ DBCBDC (3 分)
∴BC=CD (1 分)
∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形 ABCD 是菱形. (1 分)
24.(本题满分 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 5 分)
解:(1) 点 B(-1,0)、C(3,0)在抛物线 32 bxaxy 上
∴
0339
03
ba
ba ,解得
2
1
b
a ( 2 分)
∴抛物线的表达式为 322 xxy ,顶点 D 的坐标是(1,-4) ( 2 分)
(2)∵A(0,-3),C(3,0),D(1,-4) ∴ 23AC , 52CD , 2AD
∴ 222 ADACCD ∴ 90CAD ( 2 分)
∴ .32232
1
2
1 ADACS ACD (1 分)初三数学试卷 共 4 页 第 8页
(3)∵ 90AOBCAD , 2
AO
AC
BO
AD ,
∴△CAD∽△AOB,∴ OABACD
∵OA=OC, 90AOC ∴ 45OCAOAC
∴ ACDOCAOABOAC ,即 BCDBAC ( 1 分)
若以 O、P、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ,且△ABC 为锐角三角形
则 POC 也为锐角三角形,点 P 在第四象限
由点 C(3,0),D(1,-4)得直线 CD 的表达式是 62 xy ,设 )62,( ttP ( 30 t )
过 P 作 PH⊥OC,垂足为点 H,则 tOH , tPH 26
①当 ABCPOC 时,由 ABCPOC tantan 得
BO
AO
OH
PH ,
∴ 326
t
t ,解得
5
6t , ∴ )5
18,5
6(1 P (2 分)
②当 ACBPOC 时,由 145tantantan ACBPOC 得 1
OH
PH ,
∴ 126
t
t ,解得 2t ,∴ )2,2(2 P ( 2 分)
综上得 )5
18,5
6(1 P 或 )2,2(2 P
25.(本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 6 分)
解:(1)∵OD 过圆心,点 D 是弧 AB 的中点,AB=8,
∴OD⊥AB, 42
1 ABAC (2 分)
在 Rt△AOC 中, 90ACO ,AO=5,
∴ 322 ACAOCO (1 分)
5OD , 2 OCODCD (1 分)
(2)过点 O 作 OH⊥AB,垂足为点 H,则由(1)可得 AH=4,OH=3
∵AC=x,∴ |4| xCH
在 Rt△HOC 中, 90CHO ,AO=5,
∴ 258|4|3 22222 xxxHCHOCO , (1 分)
∴
5
258
8
2
xx
x
x
OD
OC
BC
AC
S
S
S
S
S
Sy
OBD
OBC
OBC
ACO
OBD
ACO
x
xxx
540
2582
( 80 x ) (3 分)
(3)①当 OB//AD 时, 过点 A 作 AE⊥OB 交 BO 延长线于点 E,过点 O 作 OF⊥AD,垂足为点 F,
则 OF=AE, AEOBOHABS ABO 2
1
2
1 ∴ OFOB
OHABAE
5
24
在 Rt△AOF 中, 90AFO ,AO=5,初三数学试卷 共 4 页 第 9页
∴
5
722 OFAOAF ∵OF 过圆心,OF⊥AD,∴
5
142 AFAD . (3 分)
②当 OA//BD 时, 过点 B 作 BM⊥OA 交 AO 延长线于点 M,过点 D 作 DG⊥AO,垂足为点 G,
则由①的方法可得
5
24 BMDG , 在 Rt△GOD 中, 90DGO ,DO=5,
∴
5
722 DGDOGO ,
5
18
5
75 GOAOAG ,
在 Rt△GAD 中, 90DGA ,∴ 622 DGAGAD ( 3 分)
综上得 65
14 或AD