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唐山市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
故答案为：A.
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合 , ，
故两个集合相等.
故答案为：C.
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知, ,将代入得到.
故答案为：B.
4. 两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】两个单位向量，的夹角为, 则
代入得到.
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故答案为：.
5. 用两个，一个，一个，可组成不同四位数的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得到有两个1是相同的，故可以组成不同的四个数字为
故答案为：D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得到， ，故，,故得到.
故答案为：D.
7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图，该程序所能实现的功能是（ ）
A. 求
B. 求
C. 求
D. 求
【答案】C
【解析】根据题意得到：a=0,s=0,i=1,
A=1,s=1,i=2,
A=4,s=1+4,i=3,
A=9,s=1+4+9,i=4,
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A=16,s=1+4+9+16,i=5,
依次写出s的表达式，发现规律，满足C.
故答案为：C.
8. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】函数 ,
将函数的图象向做平移个单位长度即可.
故答案为：A.
9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥，剩下的部分的表面积由一个等腰三角形，两个直角梯形，一个等腰直角三角形，一个长方形构成.面积和为
故答案为：A.
10. 已知为双曲线： 的右焦点，过点向
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的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点.若，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意画出图像，得到由结论焦点到对应渐近线的距离为b得到：AF=b,故OA=a,OF=c,而角AOF 等于角FOB ,又因为三角形AOB为直角三角形，由二倍角公式得到
化简得到c=2b,故得到离心率为.
故答案为：B.
11. 已知函数，则下列关于的表述正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称 B. ，的最小值为
C. 有个零点 D. 有无数个极值点
【答案】D
【解析】A因为函数 ，故函数不是偶函数，图像也不关于y轴对称；A不正确；
B. 假设，使得的最小值为，即有解， 在同一坐标系中画出图像，得到的最大值为2，最小值为2，且不是在同一个x处取得的，故得到两个图像无交点，故B是错误的;
C ,其中一个零点为0，另外的零点就是 两个图像的交点，两者的图像只有一个交点，故选项不正确；
D，
化一得到，，此时满足的x值有无数个；或者根据排除法也可得到D.
故答案为：D.
点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)
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确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现。同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．
12. 已知，，，是半径为的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，
由题意，PA=PB=PC=2，∠ABC=90°，
可知P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心，即AC中点，
则球的球心在PG的延长线上，设PG=h，则OG=2﹣h，
∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2，即4﹣（2﹣h）2=4﹣h2，解得h=1．
则AG=CG=，
过B作BD⊥AC于D，设AD=x，则CD=,
再设BD=y，由△BDC∽△ADB，可得,
∴y=， ,
令f（x）=，则f′（x）=
由f′（x）=0，可得x=，
∴当x=时，f（x）max=，
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∴△ABD面积的最大值为,
则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是
故答案为：B.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设，满足约束条件，则的最小值是__________．
【答案】-5
【解析】根据条件得到可行域是一个封闭的三角形区域，目标函数化为，得到当目标函数过点A（-1.-1）时有最小值，代入得到值为-5.
故答案为：-5.
14. 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是__________．（用数字作答）
【答案】-160
【解析】的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数为
故答案为：-160.
15. 已知为抛物线上异于原点的点，轴，垂足为，过的中点作轴的平行线交抛物线于点，直线交轴于点，则__________．
【答案】
【解析】如图
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，
设P（t2，t），则Q（t2，0），PQ中点H（t2，）．M，
∴直线MQ的方程为：
令x=0，可得yN=
∴则
故答案为：．
16. 在中，角，，的对边分别为，，，边上的高为，若，则的取值范围是__________．
【答案】[2，2]
【解析】根据题意得到
故范围为[2，2].
故答案为：[2，2].
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三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知数列为单调递增数列，为其前项和，.
（1）求的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，证明：.
【答案】(1) an＝n (2)见解析
【解析】试题分析：（1）根据题干中所得给的式子，再写一项两式做差得到an＋1－an＝1，进而求出通项；（2）根据题意得到的通项，进行裂项求和.
解析：
（Ⅰ）当n＝1时，2S1＝2a1＝a＋1，所以(a1－1)2＝0，即a1＝1，
又{an}为单调递增数列，所以an≥1．
由2Sn＝a＋n得2Sn＋1＝a＋n＋1，所以2Sn＋1－2Sn＝a－a＋1，
整理得2an＋1＝a－a＋1，所以a＝(an＋1－1)2．
所以an＝an＋1－1，即an＋1－an＝1，
所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n．
（Ⅱ）bn＝＝＝－
所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋[－]
＝－＜．
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18. 某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤元，成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失元.根据以往的销售情况，按，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤，而另一天日销售量低于公斤的概率；
（2）在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.
（i）求日需求量的分布列；
（ii）该经销商计划每日进货公斤或公斤，以每日利润的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货公斤还是公斤？
【答案】(1)0.192(2) （ⅰ）见解析（ⅱ）该经销商应该选择每日进货400公斤
【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图得到不低于350公斤的概率为0.4，有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤，而另一天日销售量低于公斤的概率即分两种情况按照概率相乘计算即可；（2）（i）X可取100，200，300，400，500，根据图得到对应的长方形的概率值，（ii）根据题意求出进货量为300，400时的利润均值，选择较高的即可.
解析;’
（Ⅰ）由频率分布直方图可知，
日销售量不低于350公斤的概率为(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，
则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350公斤，而另一天日销售量低于350公斤的概率P＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192．
（Ⅱ）（ⅰ）X可取100，200，300，400，500，
P(X＝100)＝0.0010×10＝0.1； P(X＝200)＝0.0020×10＝0.2；
P(X＝300)＝0.0030×10＝0.3； P(X＝400)＝0.0025×10＝0.25；
P(X＝500)＝0.0015×10＝0.15；
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所以X的分布列为：
（ⅱ）当每日进货300公斤时，利润Y1可取－100，700，1500，
此时Y1的分布列为：
此时利润的期望值E(Y1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180；
当每日进货400公斤时，利润Y2可取－400，400，1200，2000，
此时Y2的分布列为：
此时利润的期望值E(Y2)＝－400×0.1＋400×0.2＋1200×0.3＋2000×0.4＝1200；
因为E(Y1)＜E(Y2)，
所以该经销商应该选择每日进货400公斤．
19. 如图，在三棱柱中，平面平面，.
（1）证明：；
（2）若是正三角形，，求二面角的大小.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：（1）要证线线垂直，可以从线面垂直入手，证得AC⊥平面A1B1C，进而得到AC⊥；（2）利用空间坐标系的方法，求得两个面的法向量，通过向量的夹角的计算得到二面角的大小.
解析:
（Ⅰ）过点B1作A1C的垂线，垂足为O，
由平面A1B1C⊥平面AA1C1C，平面A1B1C∩平面AA1C1C＝A1C，
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得B1O⊥平面AA1C1C，
又AC平面AA1C1C，得B1O⊥AC．
由∠BAC＝90°，AB∥A1B1，得A1B1⊥AC．
又B1O∩A1B1＝B1，得AC⊥平面A1B1C．
又CA1平面A1B1C，得AC⊥CA1．
（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系C-xyz．
由已知可得A(1，0，0)，A1(0，2，0)，B1(0，1，)．
所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，0)，＝＝(0，－1，)．
设n＝(x，y，z)是平面A1AB的法向量，则
即
可取n＝(2，，1)．
设m＝(x，y，z)是平面ABC的法向量，则
即
可取m＝(0，，1)．
则cosán，mñ＝＝．
又因为二面角A1-AB-C为锐二面角，
所以二面角A1-AB-C的大小为．
20. 已知椭圆： 的左焦点为，上顶点为，长轴长为，为直线：上的动点，，.当时，与重合.
（1）若椭圆的方程；
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（2）若直线交椭圆于，两点，若，求的值.
【答案】(1)(2) m＝±1
【解析】试题分析：（1）根据题意得到由AF⊥BF得kAF·kBF＝-1，进而求出椭圆方程；（2）由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，联立直线BM和椭圆得到二次方程，由韦达定理得到|PM|·|QM|的表达式，|AM|2＝2＋，两式相等即可.
解析：
（Ⅰ）依题意得A(0，b)，F(－c，0)，当AB⊥l时，B(－3，b)，
由AF⊥BF得kAF·kBF＝ ·＝－1，又b2＋c2＝6.
解得c＝2，b＝．
所以，椭圆Γ的方程为＋＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0，)，依题意，显然m≠0，所以kAM＝－，
又AM⊥BM，所以kBM＝，所以直线BM的方程为y＝ (x－m)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
y＝ (x－m)与＋＝1联立得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，
x1＋x2＝，x1x2＝．
|PM|·|QM|＝(1＋)|(x1－m)(x2－m)|
＝(1＋)|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|
＝(1＋)·
＝，
|AM|2＝2＋m2，
由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，
所以＝1，解得m＝±1．
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21. 已知函数，.
（1）设，求的最小值；
（2）证明：当时，总存在两条直线与曲线与都相切.
【答案】(1) x＝－1时，F(x)取得最小值F(－1)＝－ (2) 见解析
【解析】试题分析：（1）对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值；（2）根据公切线的定义得到(t－1)et－1－t＋a＝0有两个根即可，研究这个函数的单调性和图像，得到这个图像和x轴有两个交点.
解析：
（Ⅰ）F¢(x)＝(x＋1)ex－1，
当x＜－1时，F¢(x)＜0，F(x)单调递减；
当x＞－1时，F¢(x)＞0，F(x)单调递增，
故x＝－1时，F(x)取得最小值F(－1)＝－．
（Ⅱ）因为f¢(x)＝ex－1，
所以f(x)＝ex－1在点(t，et－1)处的切线为y＝et－1x＋(1－t)et－1；
因为g¢(x)＝，
所以g(x)＝lnx＋a在点(m，lnm＋a)处的切线为y＝x＋lnm＋a－1，
由题意可得则(t－1)et－1－t＋a＝0．
令h(t)＝(t－1)et－1－t＋a，则h¢(t)＝tet－1－1
由（Ⅰ）得t＜－1时，h¢(t)单调递减，且h¢(t)＜0；
当t＞－1时，h¢(t)单调递增，又h¢(1)＝0，t＜1时，h¢(t)＜0，
所以，当t＜1时，h¢(t)＜0，h(t)单调递减；
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当t＞1时，h¢(t)＞0，h(t)单调递增．
由（Ⅰ）得h(a－1)＝(a－2)ea－2＋1≥－＋1＞0，
又h(3－a)＝(2－a)e2－a＋2a－3＞(2－a)(3－a)＋2a－3＝(a－)2＋＞0，
h(1)＝a－1＜0，所以函数y＝h(t)在(a－1，1)和(1，3－a)内各有一个零点，
故当a＜1时，存在两条直线与曲线f(x)与g(x)都相切．
点睛：本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.
（二）选考题：共10分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求，的极坐标方程；
（2）设曲线：（为参数且），与圆，分别交于，，求的最大值.
【答案】(1) ρ＝2cosθ；ρ＝6cosθ(2) 当α＝±时，S△ABC2取得最大值3
【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式得到两个曲线的极坐标方程；（2）S△ABC2＝×d×|AB|，根据极径的概念得到|AB|＝4cosα，进而求得最值.
解析：
（Ⅰ）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，
C1：ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρcosθ＋1＝1，所以ρ＝2cosθ；
C2：ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－6ρcosθ＋9＝9，所以ρ＝6cosθ.
（Ⅱ）依题意得|AB|＝6cosα－2cosα＝4cosα，－＜α＜，
C2(3，0)到直线AB的距离d＝3|sinα|，
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所以S△ABC2＝×d×|AB|＝3|sin2α|，
故当α＝±时，S△ABC2取得最大值3．
23. 选修4-5：不等式选讲
设函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）若正实数，满足，求的最小值.
【答案】(1) m＝1 (2)
【解析】试题分析：（1）零点分区间去掉绝对值，得到分段函数的表达式，根据图像即可得到函数最值；（2）将要求的式子两边乘以(b＋1)＋(a＋1)，再利用均值不等式求解即可.
解析：
（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|－|x|＝
由f(x)的单调性可知，当x≥1时，f(x)有最大值1．
所以m＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a＋b＝1，
＋＝ (＋)[(b＋1)＋(a＋1)]
＝ [a2＋b2＋＋]
≥ (a2＋b2＋2)
＝ (a＋b)2
＝．
当且仅当a＝b＝时取等号．
即＋的最小值为．
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