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高三模拟考试
文科数学
本试卷共5页,满分l50分。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=,B=,则A∩B=
A. B. C. D.
2.若复数满足,则=
A. B. C. D.
3.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则的值为
A. B. C. D.
4.函数是
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
5.设,则a,b,c的大小关系是
A.b>c>a B.a>c>b C.b>a>c D.a>b>c
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6.“m<0”是“函数存在零点”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
8.函数的图象大致为
9.已知A,B是圆上的两个动点,,若M是线段AB的中点,则的值为
A. B. C.2 D.3
10.习总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.右图是求大衍数列前n项和的程序框图,执行该程序框图,输入,则输出的S=
A.26 B.44 C.68 D.100
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11.设是双曲线的左右焦点,P是双曲线C右支上一点,若,则双曲线C的渐近线方程是
A. B. C. D.
12.已知函数的取值范围是
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知实数x,y满足的最小值为___________.
14.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若的面积为___________.
15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若,则双曲线的离心率__________.
16.若函数满足:对于图象上任意一点P,在其图象上总存在点,使得成立,称函数是“特殊对点函数”.给出下列五个函数:
①;②(其中e为自然对数的底数);③;④;
⑤.
其中是“特殊对点函数”的序号是__________.(写出所有正确的序号)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
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17.(本小题满分12分)
已知等差数列的公差d>0,其前n项和为成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前n项和。
18.(本小题满分12分)
如图,在几何体ABCDE中,DA平面,CB∥DA,F为DA上的点,EA=DA=AB=2CB,M是EC的中点,N为BE的中点.
(1)若AF=3FD,求证:FN∥平面MBD;
(2)若EA=2,求三棱锥M—ABC的体积.
19.(本小题满分12分)
共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
(1)求出a,b,x,y的值;
(2)若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈,求2人中至少一人来自第5组的概率.
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20.(本小题满分12分)
已知椭圆的焦距为,且C与y轴交于两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求实数a的值;
(2)证明:存在.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(为参数),以O为极点,以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(1)当时,求关于x的不等式的解集;
(2)若关于x的不等式有解,求a的取值范围.
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文科数学参考答案
一、选择题:
BCBAD AADDB AD
1.答案B 解析:因为,故选B.
2.答案C 解析:因为 ,,故选C.
3.答案B 解析:由已知,
,故选B
4.答案A 解析:=.故选A.
5.答案D 解析:,故选D
6.答案A 解析:由图像可知,当函数有零点时,.故选A.
7.答案A 解析: 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个圆锥,然后挖掉一个相同的圆锥,所以该几何体的体积和半球的体积相等.由图可知,球的半径为2,则.故选A
8.答案D解析:令 , ,所以函数是奇函数,故排除选项A,又在区间时, ,故排除选项B,当时, ,故排除选项C;故选D.
9.答案D 解析:由,
所以,
又为等边三角形,所以.故答案选D
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10.答案B 解析:第一次运行,,,不符合,继续运行,
第二次运行,,,不符合,继续运行,
第三次运行,,,不符合,继续运行,
第四次运行,,,不符合,继续运行,
第五次运行,,,不符合,继续运行,
第六次运行,,,符合,输出,
故选择B.
11.答案A 解析:因为P为右支上一点,由双曲线的定义,可得,|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|+|PF2|=6a,解得,|PF1|=4a,|PF2|=2a,且|F1F2|=2c,又∠PF1F2=30°,
由余弦定理,可得,cos 30°===.
则有c2+3a2=2ac,即c=a,则b==a,
则双曲线的渐近线方程为y=±x,即为y=±x,故选A.
12.答案D 解析:
,表示点与连线的斜率. 又,故取点
当与圆的切线重合时取最小值,可求,最小值为;
当与圆的切线重合时取最大值,可求,
最大值为;故的取值范围是
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二、 填空题:
13. 5 , 14. ,15. , 16 ②④⑤
试题解析:
13.答案 5 解析:
由题意可得可行域为如图所示(含边界),,即,
则在点处取得最小值. 联立解得:.
代入得最小值5.
14.答案 解析:由余弦定理得,解得,再由三角形面积公式得.
15.答案 解析:双曲线的渐近线方程是,当时,,即,所以,即,所以,即,所以.所以.
16. 答案 ②④⑤
解析: 由知,即.
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①
当时,满足的点不在上,故①不是“特殊对点函数”;
②.
作出函数的图象,由图象知,满足的点都在图象上,则③是“特殊对点函数”;
③.
当时,满足的点不在上,故②不是“特殊对点函数”
④.
作出函数的图象,由图象知,满足的点都在图象上,则④是“特殊对点函数”;
⑤.
作出函数的图象,由图象知,满足的点都在图象上,则⑤是“特殊对点函数”;故答案②④⑤正确。
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三、解答题:
17.解:(1)因为,即,①
因为为等比数列,即
所以,化简得:② ……2分
联立①和②得:, ……4分
所以 ……6分
(2)因为 ……8分
所以
……12分
18.解: (I)证明:连接,因分别是,的中点,
且,又,,
又,即,,四边形为平行四边形,…3分
又平面,平面
所以平面. ……6分
(Ⅱ)连接AN,MN,则 ,所以,
又在中,, ……8分
,
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所以三棱锥的体积为. ……12分
19.解:(1)由题意可知,=,解得b=0.04;
∴[80,90)内的频数为2×2=4,
∴样本容量n==50,
a=50﹣8﹣20﹣4﹣2=16;
又[60,70)内的频率为=0.32,∴x==0.032;
[90,100]内的频率为0.04,∴y==0.004. ……4分
(2)由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,
设第4组的4人分别为、、、;第5组的2人分别为、;
则从中任取2人,所有基本事件为(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)共15个. ……7分
又至少一人来自第5组的基本事件有(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)共9个, ..….9分
所以P . 故所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为 . …..12分
20.解:(Ⅰ)由题意可得,,, , ……2分
所以椭圆的标准方程为. ……4分
(Ⅱ)设,,,
所以,直线的方程为,
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同理得直线的方程为,
直线与直线的交点为, ---------------6分
直线与直线的交点为,
线段的中点,
所以圆的方程为 , ------------------8分
令,则, 因为,
所以, -----------------10分
因为这个圆与轴相交,所以该方程有两个不同的实数解,
则,又0,解得. -------------------12分
21.解:由题意知的定义域为,而对求导得,.
因为且,故只需.
又,所以得. -----------------3分
若,则.显然当时,,此时在上单调递减;当,,此时在上单调递增.所以是的唯一极小值点,故. 综上,所求的值为. ----------------5分
(2)由(1)知 ,. ------7分
设,则.
当 时, ;当 时,,
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所以在上单调递减,在上单调递增. ----------------9分
又,,,所以在有唯一零点,
在有唯一零点1, ----------------10分
且当时,;当时,,
因为,所以是的唯一极大值点.
即是在(0,1)的最大值点,所以成立.--------12分
22.解:(1)将方程消去参数得,
∴曲线的普通方程为,
将代入上式可得,
∴曲线的极坐标方程为: . --------5分
(2)设两点的极坐标方程分别为,
由消去得,
根据题意可得是方程的两根,
∴,
∴. --------10分
23.解:(1)当时,不等式为,
若,则,即,
若,则,舍去,
若,则,即,
综上,不等式的解集为. --------5分
(2)因为,得到的最小值为,所以,
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所以. --------10分
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