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2018吉林中考数学总复习动点问题
因动点产生的等腰三角形问题练习
年 班 姓名 成绩：
1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
图1 备用图
解：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．
在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．
（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是
△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．
由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．
因此△PDM∽△QDN．
所以．所以，．
图2 图3 图4
①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．
此时．所以．
②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．
此时．所以．
（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．
在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．
由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．
因此△PDF∽△CDQ．
当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．
①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．
此时．所以．
②如图6，当QC＝QD时，由，可得．
所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．
此时．所以．
③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．
图5 图6
2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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图1
解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，
代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．
所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．
（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．
当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．
由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．
所以点P的坐标为(1, 2)．
图2
（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)．
3.如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
解：（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．
在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．
所以点B的坐标为．
（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，
代入点B，．解得．
所以抛物线的解析式为．
（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．
①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．
当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．
②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．
③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．
综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．
图2 图3
4.如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
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图1
解：（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)．
令，得．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．
如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中， 为定值，，．
如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．
如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．
如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．
综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．
图5 图6 图7
5.如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
图1
解：(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y关于x的函数关系为．
(2)如图2，当m＝8时，．因此当x＝4时，y取得最大值为2．
(3) 若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△
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DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2代入，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入，得m＝2（如图4）．
图2 图3 图4
6.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2 图3
解：（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．
在Rt△BEG中，，∠B＝60°，
所以，．
所以点E到BC的距离为．
（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点．
因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．
①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变．
过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．
在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝．
在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．
所以BG＝PQ＝1．
因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2．
在Rt△PNH中，NH＝，PH＝2，所以PN＝．
在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4．
因此△PMN的周长为＋＋4．
图4 图5
②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．
如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．
在Rt△PCM中，PM＝，∠PCM＝30°，所以MC＝3．
此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．
如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝，x＝GM＝GC－MC＝5－．
如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．
又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合．
此时x＝4．
综上所述，当x＝2或4或5－时，△PMN为等腰三角形．
图6 图7 图8
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