2018吉林中考数学总复习动点问题练习(含答案)
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资料简介
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 2018吉林中考数学总复习动点问题 因动点产生的等腰三角形问题练习 ‎ 年 班 姓名 成绩: ‎ ‎1.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.‎ ‎(1)求ED、EC的长;‎ ‎(2)若BP=2,求CQ的长;‎ ‎(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.‎ 图1 备用图 解:(1)在Rt△ABC中, AB=6,AC=8,所以BC=10.‎ 在Rt△CDE中,CD=5,所以,.‎ ‎(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是 ‎△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.‎ 由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.‎ 因此△PDM∽△QDN.‎ 所以.所以,.‎ 图2 图3 图4‎ ‎①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.‎ 此时.所以.‎ ‎②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.‎ 此时.所以.‎ ‎(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,.‎ 在Rt△ABC中,.所以∠QPD=∠C.‎ 由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ.‎ 因此△PDF∽△CDQ.‎ 当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.‎ ‎①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示).‎ 此时.所以.‎ ‎②如图6,当QC=QD时,由,可得.‎ 所以QN=CN-CQ=(如图2所示).‎ 此时.所以.‎ ‎③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).‎ 图5 图6‎ ‎2.如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.‎ ‎(1)求抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;‎ ‎(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图1 ‎ 解:(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点,设y=a(x+1)(x-3),‎ 代入点C(0 ,3),得-3a=3.解得a=-1.‎ 所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.‎ ‎(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.‎ 当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.‎ 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.‎ 由,BO=CO,得PH=BH=2.‎ 所以点P的坐标为(1, 2).‎ 图2‎ ‎(3)点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0).‎ ‎3.如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;‎ ‎(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图1‎ 解:(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.‎ 在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,.‎ 所以点B的坐标为.‎ ‎(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),‎ 代入点B,.解得.‎ 所以抛物线的解析式为.‎ ‎(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2, y).‎ ‎①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得.‎ 当P在时,B、O、P三点共线(如图2).‎ ‎②当BP=BO=4时,BP2=16.所以.解得.‎ ‎③当PB=PO时,PB2=PO2.所以.解得.‎ 综合①、②、③,点P的坐标为,如图2所示.‎ 图2 图3‎ ‎4.如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B.‎ ‎(1)求点A和点B的坐标;‎ ‎(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.‎ ‎①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?‎ ‎②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 图1 ‎ 解:(1)解方程组 得 所以点A的坐标是(3,4).‎ 令,得.所以点B的坐标是(7,0).‎ ‎(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由,得.整理,得.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.‎ 因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.‎ 图2 图3 图4‎ ‎②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.‎ 如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.‎ 如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.‎ 因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.‎ 此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.‎ 我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.‎ 在△APQ中, 为定值,,.‎ 如图5,当AP=AQ时,解方程,得.‎ 如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程,得.‎ 如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程,得.‎ 综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形.‎ 图5 图6 图7‎ ‎5.如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.‎ ‎(1)求y关于x的函数关系式; ‎ ‎(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ ‎(3)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?‎ 图1‎ 解:(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角,所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B=90°,所以△DCE∽△EBF.因此,即.整理,得y关于x的函数关系为.‎ ‎(2)如图2,当m=8时,.因此当x=4时,y取得最大值为2.‎ ‎(3) 若,那么.整理,得.解得x=2或x=6.要使△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 DEF为等腰三角形,只存在ED=EF的情况.因为△DCE∽△EBF,所以CE=BF,即x=y.将x=y =2代入,得m=6(如图3);将x=y =6代入,得m=2(如图4).‎ ‎ ‎ 图2 图3 图4‎ ‎6.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.‎ ‎(1)求点E到BC的距离;‎ ‎(2)点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB交折线ADC于N,连结PN,设EP=x.‎ ‎①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;‎ ‎②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 解:(1)如图4,过点E作EG⊥BC于G.‎ 在Rt△BEG中,,∠B=60°,‎ 所以,.‎ 所以点E到BC的距离为.‎ ‎(2)因为AD//EF//BC,E是AB的中点,所以F是DC的中点.‎ 因此EF是梯形ABCD的中位线,EF=4.‎ ‎①如图4,当点N在线段AD上时,△PMN的形状不是否发生改变.‎ 过点N作NH⊥EF于H,设PH与NM交于点Q.‎ 在矩形EGMP中,EP=GM=x,PM=EG=.‎ 在平行四边形BMQE中,BM=EQ=1+x.‎ 所以BG=PQ=1.‎ 因为PM与NH平行且相等,所以PH与NM互相平分,PH=2PQ=2.‎ 在Rt△PNH中,NH=,PH=2,所以PN=.‎ 在平行四边形ABMN中,MN=AB=4.‎ 因此△PMN的周长为++4.‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ ‎②当点N在线段DC上时,△CMN恒为等边三角形.‎ 如图5,当PM=PN时,△PMC与△PNC关于直线PC对称,点P在∠DCB的平分线上.‎ 在Rt△PCM中,PM=,∠PCM=30°,所以MC=3.‎ 此时M、P分别为BC、EF的中点,x=2.‎ 如图6,当MP=MN时,MP=MN=MC=,x=GM=GC-MC=5-.‎ 如图7,当NP=NM时,∠NMP=∠NPM=30°,所以∠PNM=120°.‎ 又因为∠FNM=120°,所以P与F重合.‎ 此时x=4.‎ 综上所述,当x=2或4或5-时,△PMN为等腰三角形.‎ ‎ ‎ 图6 图7 图8‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费

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