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天天练34 直线与圆锥曲线的综合
一、选择题
1．已知抛物线y2＝16x，直线l过点M(2,1)，且与抛物线交于A，B两点，|AM|＝|BM|，则直线l的方程是( )
A．y＝8x＋15 B．y＝8x－15
C．y＝6x－11 D．y＝5x－9
答案：B
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，代入抛物线方程得y＝16x1，y＝16x2，两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝16(x1－x2)，即＝，又y1＋y2＝2，所以kAB＝8，故直线l的方程为y＝8x－15.
2．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为( )
A．± B．±或±
C．± D．±
答案：B
解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，k20)恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
答案：A
解析：直线y＝kx－k－1恒过定点(1，－1)．因为直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则曲线C
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表示椭圆，点(1，－1)在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×(－1)2≤m，所以m≥3，选A.
4．(2018·宁波九校联考(二))过双曲线x2－＝1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的两条渐近线分别交于B，C，且2＝，则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意可知，左顶点A(－1,0)．又直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x＋1，若直线l与双曲线的渐近线有交点，则b≠±1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y＝－bx，y＝bx，所以可得xB＝－，xC＝.由2＝，可得2(xB－xA)＝xC－xB，故2×＝－，得b＝2，故e＝＝.
5．(2018·太原一模)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝( )
A．0 B．1
C．2 D．2p
答案：A
解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，则＋＋＝(0,0)，故y1＋y2＋y3＝0.∵＝＝＝，同理可知＝，＝，∴＋＋＝＝0.
6．(2018·福建福州外国语学校适应性考试)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，抛物线y＝x2＋与双曲线C
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的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
答案：D
解析：由题意可得c＝，得a2＋b2＝5，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将渐近线方程和抛物线方程y＝x2＋联立，可得x2±x＋＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝－4××＝0，即有a2＝4b2，又a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，可得双曲线的方程为－y2＝1.故选D.
7．(2018·天津红桥区期末)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( )
A．1 B.
C．2 D．3
答案：C
解析：因为双曲线方程为－＝1，所以双曲线的渐近线方程是y＝±x.又抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝3，则＝，A，B两点的纵坐标分别是y＝±＝±.又△AOB的面积为，x轴是∠AOB的平分线，所以×p×＝，解得p＝2.故选C.
8．(2017·新课标全国卷Ⅰ，10)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14
C．12 D．10
答案：A
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解析：因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．
由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，
所以|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
同理可得|DE|＝4(1＋k2)．
所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)
＝4＋1＋1＋k2
＝8＋4k2＋≥8＋4×2＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．
故选A.
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二、填空题
9．(2018·昆明二模)直线l：y＝k(x＋)与曲线C：x2－y2＝1(x0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
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答案：
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，所以p＝8，所以m＝±4.由对称性不妨取M(1,4)，A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，由题意得－×2＝－1，故a＝.
三、解答题
12．(2018·山西大学附属中学期中)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的直线l与E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
解析：(1)设F(c,0)，由条件知＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1，故E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意当l⊥x轴时不合题意，故设直线l的方程为y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝，
从而|PQ|＝|x1－x2|＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝≤＝1，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ的面积最大时，l
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的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
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