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2017-2018学年杭州市第二次高考科目教学质量检测
高三数学检测试卷 2018.04.23
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．
4．考试结束，只需上交答题卷．
选择题部分（共40分）
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1． 已知集合 A＝{x | x＞1}， B＝{x | x＜2}，则 A∩B＝（ ）
A． { x | 1＜x＜2} B． {x | x＞1}
C． {x | x＞2} D． {x | x≥1}
2．设 a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R（ i 是虚数单位），则 a＝（ ）
A． 3 B． －3 C． D． －
3． 二项式的展开式中 x3项的系数是（ ）
A． 80 B． 48 C． －40 D． －80
4．设圆 C1： x2＋y2＝1 与 C2： (x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆 C1与 C2的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
5． 若实数 x， y 满足约束条件 ，设 z＝x＋2y ，则（ ）
A． z≤0 B．0≤z≤5 C． 3≤z≤5 D．z≥5
6．设 a＞b＞0， e 为自然对数的底数． 若 ab＝ba，则（ ）
A． ab＝e2 B． ab＝ C． ab＞e2 D． ab＜e2
7． 已知 0＜a＜，随机变量 ξ 的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
3 4
1 4
－a
a
当 a 增大时，（ ）
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A． E(ξ)增大， D(ξ)增大 B． E(ξ)减小， D(ξ)增大
C． E(ξ)增大， D(ξ)减小 D． E(ξ)减小， D(ξ)减小
8．已知 a＞0 且 a≠1，则函数 f (x)＝(x－a)2lnx（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
9． 记 M 的最大值和最小值分别为 Mmax 和 Mmin． 若平面向量 a， b， c 满足| a |＝| b |＝a•b
＝c•(a＋2b－2c)＝2． 则（ ）
A． |a－c|max＝ B． |a＋c|max＝
C． |a－c|min＝√ D． |a＋c|min＝
10． 已知三棱锥 S－ABC 的底面 ABC 为正三角形， SA＜SB＜SC，平面 SBC， SCA， SAB 与
平面 ABC 所成的锐二面角分别为 α1， α2， α3，则（ ）
A． α1＜α2 B． α1＞α2
C． α2＜α3 D． α2＞α3
非选择题部分（共 110 分）
二、 填空题（ 本大题共 7 小题， 第 11-14 题，每小题 6 分， 15-17 每小题 4 分，共 36 分）
11．双曲线= 1的渐近线方程是________，离心率是_______．
12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
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14．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．
15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．
16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤，|f(x)＋1－x2|≤，则f(1)＝ ．
17．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为 ．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分）
18．（本题满分14分）已知函数f(x)＝ + - ç ÷ ç ÷ è ø è ø
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数y＝f(－x)的单调减区间．
19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC
的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD．
（Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．
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20．（本题满分15分）已知函数f(x)＝
（Ⅰ）求函数f(x)的导函数f ′(x)；
（Ⅱ）证明：f(x)＜（e为自然对数的底数）．
21．（本题满分15分）如图，过抛物线M：y＝x2上一点A（点A不与原点O重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D．
（Ⅰ）设A(x0，x02)（x0≠0），求直线AB的方程；
（Ⅱ）求的值．
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22．（本题满分15分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋（c＞0，n∈N*），
（Ⅰ）证明：an＋1＞an≥1；
（Ⅱ）若对任意n∈N*，都有
证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时，
（ⅱ）．
2017学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
D
C
A
C
A
A
二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．； 12．3；162 13．； 14．－；
15．32 16． 17．
三、解答题：(本大题共5小题，共74分)．
18．（本题满分14分）
（Ⅰ）因为sin(x＋)＝cos(x－)，
所以 f (x)＝2sin(x＋)＝－2sin(x＋)．
所以函数f (x)的最小正周期是2π，最大值是2． …………7分
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（Ⅱ）因为f (－x)＝2sin(x－)，
所以单调递减区间为(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）．…………14分
19．（本题满分15分）
（Ⅰ）有题意知AM⊥BD，
又因为 AC′⊥BD，
所以 BD⊥平面AMC，
因为BD平面ABD，
所以平面AMC⊥平面AB D． …………7分
（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接F D．
由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面所成的角．
A
B
C′
D
M
F
（第19题）
设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝，MD＝2－，
DC＝DC′＝3－2，AD＝－．
在Rt△C′MD中，
＝9－4．
设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′2－AF2＝MC′2－MF2，
即 4－x2＝(9－4)－(x－1)2，
解得，x＝2－2，即AF＝2－2．
所以 C′F＝2．
故直线与平面所成的角的正弦值等于＝．
…………15分
20．（本题满分15分）
（I）． …………6分
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（Ⅱ）设，
则函数g(x)在单调递减，且，，
所以存在，使g(x0)＝0，即，
所以 x0＋1－(2x0＋1)lnx0＝0，
所以 f′(x)＝0，且f (x)在区间(0，x0)单调递增，区间(x0，＋∞)单调递减．
所以 f (x)≤f (x0)＝
＝． …………15分
21．（本题满分15分）
（Ⅰ）因为 y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′＝2x0．
所以直线AB的方程y－x0＝2x0(x－x0)，
即 y＝2x0x－． …………6分
（Ⅱ）由题意得，点B的纵坐标yB＝－，所以AB中点坐标为．
设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋x0．
由，联立得m2y2＋(mx0－1)y＋＝0．
因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2．
由韦达定理，得y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3．
所以 ，
解得 mx0＝．
所以点D的纵坐标yD＝，
故． …………15分
22．（本题满分15分）
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（Ⅰ）因为c＞0，所以 an＋1＝an＋＞an（n∈N*），
下面用数学归纳法证明an≥1．
①当n＝1时，a1＝1≥1；
②假设当n＝k时，ak≥1，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋＞ak≥1．
所以，当n∈N*时，an≥1．
所以 an＋1＞an≥1． …………5分
（Ⅱ）（ⅰ）当n≥m时，an≥am，
所以 an＋1＝an＋≤an＋，
所以 an＋1－an≤，累加得 an－am≤(n－m)，
所以 ． …………9分
（ⅱ）若，当时，
，所以．
所以当时，．
所以当时，，矛盾．
所以 ．
因为 ，
所以． …………15分
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