由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
限时规范训练十九 坐标系与参数方程
限时30分钟，实际用时________
分值40分，实际得分________
解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)
1．(2017·河南六市联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中α为参数)，曲线C2：(x－1)2＋y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程．
(2)若射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.
解：(1)因为曲线C1的参数方程为(其中α为参数)，
所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝7.
因为曲线C2：(x－1)2＋y2＝1，
所以把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(x－1)2＋y2＝1，
得到曲线C2的极坐标方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1，
化简得ρ＝2cos θ.
(2)依题意设A，B，
因为曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0，
将θ＝(ρ＞0)代入曲线C1的极坐标方程，
得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3，
同理，将θ＝(ρ＞0)代入曲线C2的极坐标方程．
得ρ2＝，所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝3－.
2．(2017·武昌区调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|
＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
3．(2017·广东普宁模拟)在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cos θ，点M，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．
(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程．
(2)求点M到A，B两点的距离之积．
解：(1)令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρsin2θ＝4cos θ，得ρ2sin2θ＝4ρcos θ，
所以y2＝4x，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，
因为点M的直角坐标为(0,1)，直线l的倾斜角为，
故直线l的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)．
(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的方程得2＝4×，
即t2＋6t＋2＝0，
Δ＝(6)2－4×2＝64，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则
又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|·|MB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝2.
4．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程．
(2)求C1与C2交点的极坐标(其中ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将，消去参数t，
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
因为曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，变为ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋y2－2y＝0.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
(2)因为C1的普通方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0，C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付