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荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）
数学（理工农医类）
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.
1.设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）
A． B． C． D．
3.下列命题正确的是（ ）
A．命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；
B．命题“若，则”的逆否命题为真命题；
C．“”是“”成立的必要不充分条件；
D．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.
4.已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）
注：，.
A．6038 B．6587 C．7028 D．7539
5.已知数列满足，且，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
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6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．1
7.偶函数和奇函数的图象如图所示，若关于的方程，的实根个数分别为、，则（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
9.已知，若，则（ ）
A．-5 B．-20 C．15 D．35
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
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A． B． C． D．12
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.
13.平面向量，，若向量与共线，则 ．
14.设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 ．
15.已知，满足不等式组，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
16.设数列满足，，若使得
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，则正整数 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.已知向量，，若，且函数的图象关于直线对称.
（Ⅰ）求函数的解析式，并求的单调递减区间；
（Ⅱ）在中，角、、的对边分别为、、，若，且，，求外接圆的面积.
18.如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上一动点.
（Ⅰ）求证：当点为线段的中点时，平面；
（Ⅱ）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.
19.手机中的“运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的朋友圈里有大量好友参与了“运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：
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步
数
性
别
男
0
2
4
7
2
女
1
3
7
3
1
（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有名，求的分布列和数学期望；
（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型
消极型
总计
男
女
总计
附：.
0.10
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635
20.已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线相交于、两点，且.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的倾斜角互余，求证：直线经过一定点.
21.已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
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（Ⅱ）若，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为.以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，且）.
（Ⅰ）写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）若直线与圆交于、两点，求的最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
设不等式的解集为.
（Ⅰ）求集合；
（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5: CBBBA 6-10: CDCAC 11、12：DC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ），
∵函数的图象关于直线对称，∴，，
∴，，又，∴.
∴.
∵函数的单调递减区间为，.
令，∴.
∴的单调递减区间为，.
（Ⅱ）∵，∴.
∵，∴，∴，∴.
在中，由余弦定理得，
∴.
由正弦定理得，∴，∴.
18.（Ⅰ）证明：法1：连接、，显然、、三点共线.
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∵点、分别为和的中点，∴；
在直三棱柱中，，∴平面，∴，
又，∴四边形为正方形，∴，
∵、平面，∴平面，
而，∴平面.
法2：（用向量法同等给分）.
（Ⅱ）解：以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
连接、，设，
∵，∴，∴，∴.
当点在线段上运动时，∴平面的法向量即为平面的法向量，
设平面的法向量为，由得，
令得，
设平面的法向量为，由得，
令得，取，
∵，
∴，∴或.
19.解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为.
可能取值分别为0，1，2，3，
∴，，
，，
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积极型
消极型
总计
男
9
6
15
女
4
11
15
总计
13
17
30
的分布列为
0
1
2
3
则.
（Ⅱ）完成列联表
的观测值.
据此判断没有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
20.解：（Ⅰ）由题意可设直线的方程为，令，.
联立得，∴，
根据抛物线的定义得，又，又，∴，∴.
则此抛物线的方程为.
（Ⅱ）设直线、的倾斜角分别为、，直线的斜率为，则.
由于直线与的倾斜角互余，则，
则直线的斜率为.
于是直线的方程为，即，
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联立得，∴，
则，∴，
同理将换成得：，
∴.
则直线的方程为，
即，显然当，.
所以直线经过定点.
21.解：（Ⅰ），
∵，在上恒成立，即在上单调递减.
当时，由，得；由，得；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）令，
则，
由于，设，，
由，所以在上单调递增；
由，所以在上单调递减.
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∴（因为），从而.
则在上单调递减；在上单调递增，∴，
设，，
，在上递减，∴；
∴，故.
说明：判断的符号时，还可以用以下方法判断：
由得到，设，，
当时，；当时，.
从而在上递减，在上递增. ∴.
当时，，即.
22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令，，
在中，为直径，，
∵消去参数得直线的普通方程为：.
法二：在直角坐标系中，圆的圆心为，则方程为.
即，∴，
即.
（Ⅱ）法一：直线过圆内一定点，当时，有最小值，
∴.
法二：点到直线的距离，
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∴.
当时，有最小值.
23.解：（Ⅰ）由已知，令，
由得.
（Ⅱ）将不等式整理成，
令，要使，
则，
∴，∴，∴.
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