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荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）
数学（文史类）
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.
1.设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数是纯虚数，其中是实数，则（ ）
A． B． C． D．
3.下列命题正确的是（ ）
A．命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；
B．命题“若，则”的逆否命题为真命题；
C．“”是“”成立的必要不充分条件；
D．命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.
4.已知数列满足，且，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
5.《世界数学史简编》的封面有一图案（如图），该图案的正方形内有一内切圆，圆内有一内接正三角形，在此图案内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
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6.把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）
A．图象关于直线对称 B．在上单调递减
C．图象关于点对称 D．在上单调递增
7.实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．4
8.函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
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A． B． C． D．12
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.
13.平面向量，，若向量与共线，则 ．
14.某医院随机抽取20位急症病人家属了解病人等待急症的时间，记录如下表：
等待急症时间（分钟）
频数
4
8
5
2
1
根据以上记录，病人等待急症平均时间的估计值 分钟．
15.已知底面是直角三角形的直三棱柱的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是 ．
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16.高斯函数又称为取整函数，符号表示不超过的最大整数.设是关于的方程的实数根，，.则：（1） ；（2） .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.在中，角、、的对边分别为、、，且.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，的面积为，求的值.
18.在四棱锥中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若点在线段上，且，求三棱锥的体积.
19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据：
月份
1
2
3
4
5
6
不“礼让斑马线”驾驶员人数
120
105
100
85
90
80
（Ⅰ）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程；
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（Ⅱ）若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（Ⅰ）中的回归直线方程，判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？
（Ⅲ）若从表中3、4月份分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式：，.
20.已知倾斜角为的直线经过抛物线：的焦点，与抛物线相交于、两点，且.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、，线段和的中点分别为、.如果直线与的斜率之积等于1，求证：直线经过一定点.
21.已知函数，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）当，时，证明：；
（Ⅱ）当时，讨论函数的极值点的个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知圆的圆心为，半径为.以极点为原点，极轴方向为轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，且）.
（Ⅰ）写出圆的极坐标方程和直线的普通方程；
（Ⅱ）若直线与圆交于、两点，求的最小值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
设不等式的解集为.
（Ⅰ）求集合；
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（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: CBBAA 6-10: DDACC 11、12：DA
二、填空题
13. 14. 7.6 15. 16.（1）2；（2）
三、解答题
17.解：（Ⅰ）方法一：由余弦定理可得，
整理得：，即，
又为三角形的内角，∴.
方法二：由正弦定理可得：，
，
，
，又为三角形的内角，.
（Ⅱ）由题意：，
在三角形中：，
即，
联立①②解得.
18.（Ⅰ）证明：取，的中点分别为，，连接，.
∵是以为斜边的等腰直角三角形，
∴.
∵平面平面，平面平面，
∴平面，而，
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∴①
又∵，，，
∴四边形为正方形，且，
∴，即②
由①②及得：面，
又∵面，∴，
又∵，，
∴面，而面，
∴.
（Ⅱ）过点作于，则面且，
（或由（Ⅰ）得面，）
19.解：（Ⅰ）依题意，，
，，
∴关于的线性回归方程为：.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，.
，故6月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.
（Ⅲ）设3月份选取的4位驾驶的编号分别为：，，，
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，从4月份选取的2位驾驶员的编号分别为，，从这6人中任抽两人包含以下基本事件：，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件，
∴所求概率.
20.解：（Ⅰ）由题意可设直线的方程为，令，.
联立得，∴，
根据抛物线的定义得，又，又，∴，∴.
则此抛物线的方程为.
（Ⅱ）设直线的斜率为，则直线的斜率为.
于是直线的方程为，即，
联立得，∴，
则，∴，
同理将换成得：，
∴.
则直线的方程为，
即，显然当，.
所以直线经过定点.
21.解：（Ⅰ）依题意，因为，只要证，
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记，，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，即，原不等式成立.
（Ⅱ）
，
记，.
（1）当时，，在上单调递增，，，
所以存在唯一，，且当时，；当，，
①若，即时，对任意，，此时在上单调递增，无极值点.
②若，即时，此时当或时，.即在，上单调递增；当时，，即在上单调递减.
此时有一个极大值点和一个极小值点-1.
③若，即时，此时当或时，.即在，上单调递增；当时，，即在上单调递减.
此时有一个极大值点-1和一个极小值点.
（2）当时，，所以，显然在单调递减；在
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上单调递增.
综上可得：①当或时，有两个极值点；
②当时，无极值点；
③当时，有一个极值点.
22.解：（Ⅰ）法一：在极坐标系中，令，，
在中，为直径，，
∵消去参数得直线的普通方程为：.
法二：在直角坐标系中，圆的圆心为，则方程为.
即，∴，
即.
（Ⅱ）法一：直线过圆内一定点，当时，有最小值，
∴.
法二：点到直线的距离，
∴.
当时，有最小值.
23.解：（Ⅰ）由已知，令，
由得.
（Ⅱ）将不等式整理成，
令，要使，
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则，
∴，∴，∴.
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