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2018年内蒙古包头市中考数学全真模拟试卷(3)
一.选择题(共12小题,满分36分,每小题3分)
1.(3分)下列计算正确的是( )
A.2a2•a3=2a6 B.(3a2)3=9a6 C.a6÷a2=a3 D.(a﹣2)3=a﹣6
2.(3分)下列语句中正确的有( )个.
(1)任何有理数都有相反数
(2)任何有理数都有倒数
(3)两个有理数的和一定大于其中任意一个加数
(4)两个负有理数,绝对值大的反而小
(5)一个数的平方总比它本身大.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(3分)某中学排球队12名队员的年龄情况如下表:
年龄(岁)
12
13
14
15
人数(人)
1
2
5
4
则这个队员年龄的众数是( )
A.12岁 B.13岁 C.14岁 D.15岁
4.(3分)如图,有一个无盖的正方体纸盒,下底面标有字母“M”,沿图中粗线将其剪开展成平面图形,想一想,这个平面图形是( )
A. B. C. D.
5.(3分)下列说法不正确的是( )
A.是最简二次根式 B.﹣1的立方根是﹣1
C.的算术平方根是2 D.1的平方根是±1
6.(3分)若等腰三角形的两边长分别为4和9,则它的周长为( )
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A.22 B.17 C.13 D.17或22
7.(3分)从一副扑克牌中随机抽出一张牌,得到梅花或者K的概率是( )
A. B. C. D.
8.(3分)若a满足不等式组,且关于x的一元二次方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+=0有实数根,则满足条件的实数a的所有整数和为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.﹣3 D.0
9.(3分)如图,Rt△ABC中,AB=AC=4,以AB为直径的圆交AC于D,则图中阴影部分的面积为( )
A.2π B.π+1 C.π+2 D.4+
10.(3分)下列说法:①平方等于其本身的数有0,±1;②32xy3是4次单项式;③将方程=1.2中的分母化为整数,得=12;④平面内有4个点,过每两点画直线,可画6条.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(3分)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.﹣1<x<5 B.x>5 C.﹣1<x且x>5 D.x<﹣1或x>5
12.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC与BC相交于点D,若BD=4,CD=2,则AC的长是( )
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A.4 B.3 C.2 D.
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
13.(3分)现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式,刚刚过去的2015年的“双11”网上促销活动中,天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元,将67000000000元用科学记数法表示为 .
14.(3分)化简÷(1﹣)的结果为 .
15.(3分)某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50%、20%和30%的比例计入学期总评成绩,90分以上为优秀.甲、乙、丙三人的各项成绩(单位:分)如下表,学期总评成绩优秀的学生是 .
纸笔测试
实践能力
成长记录
甲
90
83
95
乙
88
90
95
丙
90
88
90
16.(3分)若关于x,y方程组的解为,则方程组的解为 .
17.(3分)如图,直线l经过⊙O的圆心O,与⊙O交于A、B两点,点C在⊙O上,∠AOC=30°,点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合),直线CP与⊙O相交于点M,且MP=OM,则满足条件的∠OCP的大小为 .
18.(3分)矩形ABCD中, CE平分∠
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BCD,交直线AD于点E,若CD=6,AE=2,则tan∠ACE= .
19.(3分)如图,已知直线y=x+4与双曲线y=(x<0)相交于A、B两点,与x轴、y轴分别相交于D、C两点,若AB=2,则k= .
20.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°,点M、N分别在AB、AD边上.若AM:MB=AN:ND=1:2,则tan∠MCN= .
三.解答题(共6小题,满分48分,每小题8分)
21.(8分)将分别标有数字1,3,5的三张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上.
(1)随机地抽取一张,求抽到数字恰好为1的概率;
(2)请你通过列表或画树状图分析:随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回),再抽取一张作为个位上的数字,求所组成的两位数恰好是“35”的概率.
22.(8分)已知:如图,在△ABC中,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连接CE,过点C作CF∥BA交PQ于点F,连接AF.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若AD=3,AE=5,则求菱形AECF的面积.
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23.(10分)如图,在一面靠墙的空地上,用长为24米的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,从设计的美观角度出发,墙的最小可用长度为4米,墙的最大可用长度为14米.
(1)若所围成的花圃的面积为32平方米,求花圃的宽AB的长度;
(2)当AB的长为 时,所围成的花圃面积最大,最大值为 米2;当AB的长为 时,所围成的花圃面积最小,最小值为 米2.
24.(10分)已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C点的切线与AB的延长线交于点D,CE∥AB交⊙O于点E,连接AC、BC、AE.
(1)求证:①∠DCB=∠CAB;②CD•CE=CB•CA;
(2)作CG⊥AB于点G.若(k>1),求的值(用含k的式子表示).
25.(12分)阅读下列材料,完成任务:
自相似图形
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定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.
任务:
(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为 ;
(2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则△ACD与△ABC的相似比为 ;
(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).
请从下列A、B两题中任选一条作答:我选择 题.
A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含n,b的式子表示);
B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含b的式子表示);
②如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含m,n,b的式子表示).
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26.如图,抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣1,)及原点,交x轴于另一点C(2,0),点D(0,m)是y轴正半轴上一动点,直线AD交抛物线于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接AO、BO,若△OAB的面积为5,求m的值;
(3)如图2,作BE⊥x轴于E,连接AC、DE,当D点运动变化时,AC、DE的位置关系是否变化?请证明你的结论.
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2018年内蒙古包头市中考数学全真模拟试卷(3)
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题,满分36分,每小题3分)
1.
【解答】解:A、错误,应等于2a5;
B、错误,应等于27a6;
C、错误,应等于a4;
D、正确.
故选:D.
2.
【解答】解:(1)任何有理数都有相反数,故本小题正确;
(2)0没有倒数,所以任何有理数都有倒数错误,故本小题错误;
(3)两个有理数的和一定大于其中任意一个加数,只有两个数都是正数时成立,故本小题错误;
(4)两个负有理数,绝对值大的反而小,故本小题正确;
(5)0的平方等于0,所以一个数的平方总比它本身大错误,故本小题错误.
综上所述,正确的有(1)(4)共2个.
故选:B.
3.
【解答】解:数据14出现了5次,出现次数最多,故14为众数,
故选:C.
4.
【解答】解:选项A、D经过折叠后,标有字母“M”的面不是下底面,而选项C折叠后,不是沿沿图中粗线将其剪开的,故只有B正确.
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故选:B.
5.
【解答】解:A、不是最简二次根式,错误;
B、﹣1的立方根是﹣1,正确;
C、的算术平方根是2,正确;
D、1的平方根是±1,正确;
故选:A.
6.
【解答】解:①若4是腰,则另一腰也是4,底是9,但是4+4<9,
故不能构成三角形,舍去.
②若4是底,则腰是9,9.
4+9>9,符合条件,成立.
故周长为:4+9+9=22.
故选:A.
7.
【解答】解:P(得到梅花或者K)=.
故选:B.
8.
【解答】解:解不等式组,得a<1,
∵关于x的一元二次方程(a﹣2)x2﹣(2a﹣1)x+a+=0有实数根,
∴△≥0且a﹣2≠0,即△(2a﹣1)2﹣4(a﹣2)(a+)≥0且a≠2,解得a≥﹣2.5且a≠2,
∴a的取值范围为﹣2.5≤a<1,
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∴整数a的值有﹣2、﹣1、0,
∴满足条件的实数a的所有整数和为﹣3,
故选:C.
9.
【解答】解:半径OB=2,圆的面积为4π,半圆面积为2π,
连接AD,OD,
根据直径对的圆周角是直角,
∴AD⊥BC,∠ADB=90°,
∵点O是圆心,Rt△ABC是等腰直角三角形,
∴OD⊥AB,∠DOB=90°,
∴扇形ODB的面积等于四分之一圆面积为π,△DOB的面积=×2×2=2,
∴弓形DB的面积=π﹣2,
∴阴影部分的面积=2π﹣(π﹣2)=π+2.
故选:C.
10.
【解答】解:①错误,﹣1的平方是1;
②正确;
③错误,方程右应还为1.2;
④错误,只有每任意三点不在同一直线上的四个点才能画6条直线,若四点在同一直线上,则只有画一条直线了.
故选:A.
11.
【解答】解:由对称性得:抛物线与x轴的另一个交点为(﹣1,0),
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由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是:x<﹣1或x>5,
故选:D.
12.
【解答】解:作DE⊥AB于E,
∵AD是∠BAC的平分线,∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴DE=DC=3,
在Rt△ACD和Rt△AED中,
,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AE,
由勾股定理得BE==2,
设AC=AE=x,
由勾股定理得x2+62=(x+2)2,
解得x=2.
故选:C.
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
13.
【解答】解:67 000 000 000=6.7×1010,
故答案为:6.7×1010.
14.
【解答】解:原式=÷(﹣)
=÷
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=•
=2,
故答案为:2.
15.
【解答】解:由题意知,甲的学期总评成绩=90×50%+83×20%+95×30%=90.1,
乙的学期总评成绩=88×50%+90×20%+95×30%=90.5,
丙的学期总评成绩=90×50%+88×20%+90×30%=89.6,
故答案为甲、乙.
16.
【解答】解:利用整体思想可得,解得.
17.
【解答】解:①根据题意,画出图(1),
在△QOC中,OC=OM,
∴∠OMC=∠OCP,
在△OPM中,MP=MO,
∴∠MOP=∠MPO,
又∵∠AOC=30°,
∴∠MPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°,
在△OPM中,∠MOP+∠MPO+∠OMC=180°,
即(∠OCP+30°)+(∠OCP+30°)+∠OCP=180°,
整理得,3∠OCP=120°,
∴∠OCP=40°.
②当P在线段OA的延长线上(如图2)
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∵OC=OM,
∴∠OMP=(180°﹣∠MOC)×①,
∵OM=PM,
∴∠OPM=(180°﹣∠OMP)×②,
在△OMP中,30°+∠MOC+∠OMP+∠OPM=180°③,
把①②代入③得∠MOC=20°,则∠OMP=80°
∴∠OCP=100°;
③当P在线段OA的反向延长线上(如图3),
∵OC=OM,
∴∠OCP=∠OMC=(180°﹣∠COM)×①,
∵OM=PM,
∴∠P=(180°﹣∠OMP)×②,
∵∠AOC=30°,
∴∠COM+∠POM=150°③,
∵∠P=∠POM,2∠P=∠OCP=∠OMC④,
①②③④联立得
∠P=10°,
∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°.
故答案为:40°、20°、100°.
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18.
【解答】解:∵CE平分∠BCD,CD=6,AE=2,
∴∠DCE=∠DEC=45°,DE=CD=6,
①当E在线段AD上时,AD=2+6=8,AC=10,
如图1,过E作EF⊥AC于F,则∠AFE=∠D=90°,
又∵∠EAF=∠CAD,
∴△AEF∽△ACD,
∴AF=AE=,EF=AE=,
∴CF=10﹣=,
∴Rt△CEF中,tan∠ACE=;
②当E在DA延长线上时,∠E=∠BCE=45°,
如图2,过A作AF⊥CE于F,则△AEF是等腰直角三角形,
∴EF=AF=,
又∵等腰Rt△CDE中,CE=CD=6,
∴CF=5,
∴Rt△ACF中,tan∠ACE=;
综上所述,tan∠ACE=或;
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故答案为:或.
19.
【解答】解:作BF⊥x轴于F,AE⊥y轴于E,两垂线交于M点,BH⊥y轴于H,AG⊥x轴于G,如图所示,
∵D(﹣4,0),C(0,4),
∴OC=OD,CD=4,
∴∠OCD=∠ODC=45°,
∵AE∥OD,
∴∠BAM=∠CDO=45°,
∴△ADG,△CBH,△ABM都是等腰直角三角形(
∵AB=2,根据对称性可知,AD=BC=,
∴AG=CG=1,
∴A(﹣3,1),
∴k=﹣3,
故答案为﹣3.
20.
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【解答】解:∵AB=AD=6,AM:MB=AN:ND=1:2,
∴AM=AN=2,BM=DN=4,
连接MN,连接AC,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°
在Rt△ABC与Rt△ADC中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°,MC=NC,
∴BC=AC,
∴AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,
3BC2=AB2,
∴BC=2,
在Rt△BMC中,CM=.
∵AN=AM,∠MAN=60°,
∴△MAN是等边三角形,
∴MN=AM=AN=2,
过M点作ME⊥CN于E,设NE=x,则CE=2﹣x,
∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2,即4﹣x2=(2)2﹣(2﹣x)2,
解得:x=,
∴EC=2﹣=,
∴ME=,
∴tan∠MCN=,
故答案为:
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三.解答题(共6小题,满分48分,每小题8分)
21.
【解答】解:(1)∵卡片共有3张,有1,3,5,1有一张,
∴抽到数字恰好为1的概率;
(2)画树状图:
由树状图可知,所有等可能的结果共有6种,其中两位数恰好是35有1种.
∴P(35)=.
22.
【解答】证明:(1)∵CF∥AB,
∴∠DCF=∠DAE,
∵PQ垂直平分AC,
∴CD=AD,
在△CDF和△AED中
∵,
∴△CDF≌△AED,
∴AE=CF,
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∴四边形AECF是平行四边形,
∵PQ垂平分AC,
∴AE=CE,
∴四边形AECF是菱形;
(2)∵四边形AECF是菱形,
∴△ADE是直角三角形,
∵AD=3,AE=5,
∴DE=4,
∴AC=2AD=6,EF=2DE=8,
∴菱形AECF的面积为AC•EF=24.
23.
【解答】解:(1)∵AB=x,
∴BC=24﹣4x,
∴x(24﹣4x)=32,
解得:x=2(舍)或x=4,
答:花圃的宽AB的长度为4米;
(2)S=﹣4x2+24x=﹣4(x﹣3)2+36,
∵2.5≤x≤5,
∴当x=3时,S有最大值为36;
当x=5时,S有最小值为20;
故答案为:3,36;5,20.
24.
【解答】(1)证明:①如图1
解法一:作直径CF,连接BF.
∴∠CBF=90°,
则∠CAB=∠F=90°﹣∠1.
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∵CD切⊙O于C,
∴OC⊥CD,
则∠BCD=90°﹣∠1.
∴∠BCD=∠CAB.
解法二:如图2
连接OC.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
则∠2=90°﹣∠OCB.
∵CD切⊙O于C,
∴OC⊥CD.
则∠BCD=90°﹣∠OCB.
∴∠BCD=∠2.
∵OA=OC,
∴∠2=∠CAB.
∴∠BCD=∠CAB.
②∵EC∥AB,∠BCD=∠3,
∴∠4=∠3=∠BCD.
∵∠CBD+∠ABC=180°,
∵∠AEC+∠ABC=180°,
∴∠CBD=∠AEC.
∴△ACE∽△DCB.
∴.
∴CD•CE=CB•CA.
(2)解:如图3,连接EB,交OC于点H,
∵CG⊥AB于点G,∠ACB=90°.
∴∠3=∠BCG.
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∴AE=BC,
∵∠3=∠4.
∴∠3=∠EBG.
∴∠BCG=∠EBG.
∵(k>1),
∴在Rt△HGB中,.
在Rt△BCG中,.
设HG=a,则BG=ka,CG=k2a.CH=CG﹣HG=(k2﹣1)a.
∵EC∥AB,
∴△ECH∽△BGH.
∴.
解法二:如图4,作直径FC,连接FB、EF,则∠CEF=90°.
∵CG⊥AB于点G,
在Rt△ACG中,
设CG=a,则AG=ka,,CF=AB=AG+BF=(k)a.
∵EC∥AB,∠CEF=90°,
∴直径AB⊥EF.
∴EF=2CG=2a.
EC=)=(k)a.
∴=k2﹣1.
解法三:如图5,作EP⊥AB于点P
在Rt△ACG中,,
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设CG=a,则AG=ka,,
可证△AEP≌△BCG,则有AP=.
EC=AG﹣AP=(k)a.∴==k2﹣1.
25.
【解答】解:(1)∵点H是AD的中点,
∴AH=AD,
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∵正方形AEOH∽正方形ABCD,
∴相似比为: ==;
故答案为:;
(2)在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理得,AB=5,
∴△ACD与△ABC相似的相似比为: =,
故答案为:;
(3)A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD,
∴AF:AB=AB:AD,
即a:b=b:a,
∴a=b;
故答案为:
②每个小矩形都是全等的,则其边长为b和a,
则b: a=a:b,
∴a=b;
故答案为:
B、①如图2,
由①②可知纵向2块矩形全等,横向3块矩形也全等,
∴DN=b,
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时,
∵矩形FMND∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AD:AB,
即FD: b=a:b,
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解得FD=a,
∴AF=a﹣a=a,
∴AG===a,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即a:b=b:a
得:a=b;
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时,
∵矩形DFMN∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AB:AD
即FD: b=b:a
解得FD=,
∴AF=a﹣=,
∴AG==,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即:b=b:a,
得:a=b;
故答案为:或;
②如图3,
由①②可知纵向m块矩形全等,横向n块矩形也全等,
∴DN=b,
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时,
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∵矩形FMND∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AD:AB,
即FD: b=a:b,
解得FD=a,
∴AF=a﹣a,
∴AG===a,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即a:b=b:a
得:a=b;
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时,
∵矩形DFMN∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AB:AD
即FD: b=b:a
解得FD=,
∴AF=a﹣,
∴AG==,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即:b=b:a,
得:a=b;
故答案为: b或b.
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26.
【解答】解:
(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(﹣1,)和点C(2,0),
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣x;
(2)∵D(0,m),
∴可设直线AD解析式为y=kx+m,
把A点坐标代入可得=﹣k+m,即k=m﹣,
∴直线AD解析式为y=(m﹣)x+m,
联立直线AD与抛物线解析式可得,
消去y,整理可得x2+(﹣m)x﹣m=0,解得x=﹣1或x=2m,
∴B点横坐标为2m,
∵S△AOB=5,
∴OD[2m﹣(﹣1)]=5,即m(2m+1)=5,解得m=﹣或m=2,
∵点D(0,m)是y轴正半轴上一动点,
∴m=2;
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(3)AC和DE的位置关系不变,证明如下:
设直线AC解析式为y=k′x+b′,
∵A(﹣1,)、C(2,0),
∴,解得,
∴直线AC解析式为y=﹣x+1,
由(2)可知E(2m,0),且D(0,m),
∴可设直线DE解析式为y=sx+m,
∴0=2ms+m,解得s=﹣,
∴直线DE解析式为y=﹣x+m,
∴AC∥DE,即AC和DE的位置关系不变.
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