北京市东城区2018年中考一模（5月）数学试卷
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．如图，若数轴上的点A，B分别与实数-1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是
A. B. C. D.
2. 当函数的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是
A． B． C． D．为任意实数
3．若实数，满足，则与实数，对应的点在数轴上的位置可以是
4．如图，是等边△ABC的外接圆，其半径为3. 图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
1题 4题
5．点A （4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90°
6． 甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙 做45个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做x个，那么可列方程为
A． B． C． D．
7．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行.冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等.
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如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有跳台滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的项目图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪图案的概率是
A． B． C． D．
8．如图1是一座立交桥的示意图（道路宽度忽略不计）， A为入口， F，G为出口，其 中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF ；弯道为以点O为圆心的一段弧，且， ，所对的圆心角均为90°．甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出. 其间两车到点O的距离y（m）与时间x(s)的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法错误的是
A. 甲车在立交桥上共行驶8s B. 从F口出比从G口出多行驶40m
C. 甲车从F口出，乙车从G口出 D. 立交桥总长为150m
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9．若根式有意义，则实数的取值范围是__________________.
10．分解因式：= ________________.
11．若多边形的内角和为其外角和的3倍，则该多边形的边数为________________.
12. 化简代数式，正确的结果为________________.
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13． 含30°角的直角三角板与直线l1，l2的位置关系如图所示，已知l1//l2，∠1=60°. 以下三个结论中正确的是_____________（只填序号）.
①; ②为正三角形; ③
14. 将直线y=x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得直线的函数表达式为 ____________，这两条直线间的距离为____________.
15. 举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为0. 甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下（单位：公斤）：
年份
选手
2015上半年
2015下半年
2016上半年
2016下半年
2017上半年
2017下半年
甲
290（冠军）
170（没获奖）
292（季军）
135（没获奖）
298（冠军）
300（冠军）
乙
285（亚军）
287（亚军）
293（亚军）
292（亚军）
294（亚军）
296（亚军）
如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选派____________（填“甲”或“乙”），理由是______________________________________．
16．已知正方形ABCD.
求作：正方形ABCD的外接圆.
作法：如图，
（1）分别连接AC，BD，交于点O ;
(2) 以点O为圆心，OA长为半径作.
即为所求作的圆.
请回答：该作图的依据是_____________________________________.
三、解答题(本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26-27，每小题7分，第28题8分)
17．计算：.
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18． 解不等式组 并写出它的所有整数解.
19. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D. BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F. 求证：AE=AF.
20. 已知关于的一元二次方程.
(1) 求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一个根的平方等于4，求的值.
21．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE= AB，连接DE，AC.
（1）求证：四边形ACDE为平行四边形;
（2）连接CE交AD于点O. 若AC=AB=3，，求线段CE的长.
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22. 已知函数的图象与一次函数的图象交于点A.
（1）求实数的值；
(2) 设一次函数的图象与y轴交于点B.若点C在y轴上，且，求点C的坐标.
23． 如图，AB为的直径，点C，D在上，且点C是的中点.过点C作 AD的垂线EF交直线AD于点E.
（1）求证：EF是的切线；
（2）连接BC. 若AB=5，BC=3，求线段AE的长.
24．随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大.相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对2014年至2018年春运期间铁路发送旅客量情况进行了调查，具体过程如下.
(I)收集、整理数据
请将表格补充完整：
（II）描述数据
为了更直观地显示春运期间动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用
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___________(填“折线图”或“扇形图”)进行描述；
（III）分析数据、做出推测
预计2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为___________，你的预估理由是 _________________________________________ .
25. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC,点D,E分别为BC，AB的中点，连接AD.在线段AD
上任取一点P,连接PB ,PE.若BC =4,AD=6，设PD=x（当点P与点D重合时，x的值为0），PB+PE=y.
小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变换而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程，请补充完整：
x
0
1
2
3
4
5
6
y
5.2
4.2
4.6
5.9
7.6
9.5
（1）通过取点、画图、计算，得到了x与y的几组值，如下表：
（说明：补全表格时，相关数值保留一位小数）.
（参考数据： ，，）
(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）函数y的最小值为 ______________(保留一位小数)，此时点P在图1中的位置为 ________________________.
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴
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交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；
（2）①求抛物线的对称轴；
②求抛物线的顶点的纵坐标（用含的代数式表示）；
（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．
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27. 已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB， 过点C作AD的垂线，交 AD
的延长线于点H．
（1）如图1，若
①直接写出和的度数；
②若AB=2，求AC和AH的长；
（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．
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28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O
的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.
（1）如图2， ，.在A（1，0），B（1，1），
三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是 ；
（2）如图3， M（0，1），N，点D是线段 MN关于点O的关联点.
①∠MDN的大小为 °；
②在第一象限内有一点E，点E是线段MN关于点O的关联点，
判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；
③点F在直线上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标的取值范围．
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东城区2017-2018学年度第一次模拟检测
初三数学试题参考答案及评分标准 2018.5
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
D
C
A
B
C
二、填空题（本题共16分，每小题 2分）
9. 10. 11. 8 12. 13. ②③
14. ， 15. 答案不唯一 ，理由须 支撑推断结论 16. 正方形的对角线相等且互相平分，圆的定义
三、解答题（本题共68分，17-24题，每题5分，第25题6分，26-27题，每小题7分，第28题8分）
18. 解：
由①得，，------------------1分
由②得，， ------------------2分
∴不等式组的解集为.
所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分
19.证明： ∵∠BAC=90°，
∴∠FBA+∠AFB=90°. -------------------1分
∵AD⊥BC，
∴∠DBE+∠DEB=90°．---------------- 2分
∵BE平分∠ABC,
∴∠DBE=∠FBA. -------------------3分
∴∠AFB=∠DEB. -------------------4分
∵∠DEB=∠FEA，
∴∠AFB=∠FEA.
∴AE=AF. -------------------5分
20. （1）证明：
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∵，
∴无论实数m取何值，方程总有两个实根. -------------------2分
（2）解：由求根公式，得，
∴，.
∵方程有一个根的平方等于4，
∴.
解得，或. -------------------5分
21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD，
∴，.
∵AB=AE，
∴，.
∴四边形ACDE为平行四边形. -------------------2分
(2) ∵，
∴.
∴平行四边形ACDE为菱形.
∴AD⊥CE.
∵，
∴BC⊥CE.
在Rt△EBC中，BE=6, ,
∴.
根据勾股定理，求得.----------------------5分
22.解：（1）∵点在函数的图象上，
∴，点.
∵直线过点，
∴ .
解得 . ----------------------2分
(2)易求得.
如图，，
∵，
∴.
∴,或. ----------------------5分
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23. （1）证明：连接OC.
∵
∴∠1=∠3.
∵，
∴∠1=∠2.
∴∠3=∠2.
∴.
∵，
∴.
∵ OC是的半径，
∴EF是的切线. ----------------------2分
（2）∵AB为的直径，
∴∠ACB=90°.
根据勾股定理，由AB=5,BC=3,可求得AC=4.
∵ ，
∴∠AEC=90°.
∴△AEC∽△ACB.
∴.
∴.
∴. ----------------------5分
24. 解：(I)：56.8%；----------------------1分
(II)折线图； ----------------------3分
(III)答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据61%左右.--------5分
25.解：（1）4.5 . --------------------2分
（2）
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--------------------4分
(3) 4.2，点P是AD与CE的交点. --------------------6分
26.解：(1) ∵点在抛物线上，∴，.--------------------2分
(2)①对称轴为直线；
②顶点的纵坐标为 .--------------------4分
(3) （i）当
依题意，
解得
（ii）当
依题意，
解得
综上，，或. --------------------7分
27. （1）①，；--------------------2分
②作DE⊥AC交AC于点E.
Rt△ADE中，由，AD=2可得DE=1，AE.
Rt△CDE中，由，DE=1，可得EC=1.
∴AC.
Rt△ACH中，由，可得AH； --------------4分
（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC
证明： 延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.
易证△ACH ≌△AFH.
∴,.
∴.
∵，
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∴ .
∴ .
∴ .
∴. --------------7分
28. 解：（1）C； --------------2分
（2）① 60°；
② △MNE是等边三角形，点E的坐标为；--------------5分
③ 直线交 y轴于点K（0，2），交x轴于点.
∴，.
∴.
作OG⊥KT于点G,连接MG.
∵，
∴OM=1.
∴M为OK中点 .
∴ MG =MK=OM=1.
∴∠MGO =∠MOG=30°，OG=.
∴
∵,
∴ .
又，，
∴.
∴.
∴G是线段MN关于点O的关联点.
经验证，点在直线上.
结合图象可知， 当点F在线段GE上时 ，符合题意.
∵，
∴ .--------------8分
.
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