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北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试（理工类）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.在中，，，，则（ ）
A． B．或 C． D．或
3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．
4.在极坐标系中，直线：与圆：的位置关系为（ ）
A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C.相切 D．相离
5.如图，角，均以为始边，终边与单位圆分别交于点，，则（ ）
A． B． C. D．
6.已知函数则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得分，负者得分，平局两人各得分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ）
A． B． C. D．
8.若三个非零且互不相等的实数，，成等差数列且满足，则称，，成一个“等差数列”.已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.计算 ．
10.双曲线（）的离心率是 ；该双曲线的两条渐近线的夹角是 .
11.若展开式的二次项系数之和为，则 ；其展开式中含项的系数为 .（用数字作答）
12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的底面和三个侧面中，直角三角形的个数是 .
13.已知不等式组在平面直角坐标系中所表示的平面区域为，的面积，则下面结论：
①当时，为三角形；②当时，为四边形；
③当时，；④当时，为定值.
其中正确的序号是 ．
14.如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为.四面体以 所在的直线为轴旋转弧度，且始终在水平放置的平面上方.如果将四面体在平面内正投影面积看成关于的函数，记为，则函数的最小值为 ；的最小正周期为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数的图象经过点，.
（1）求的值，并求函数的单调递增区间；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
16.某市旅游管理部门为提升该市个旅游景点的服务质量，对该市个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分分，最高分分.每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：
请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）若从交通得分排名前名的景点中任取个，求其安全得分大于分的概率；
（2）若从景点总分排名前名的景点中任取个，记安全得分不大于分的景点个数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）记该市个景点的交通平均得分为，安全平均得分为，写出和的大小关系.（只写结果）
17. 如图，在四棱锥中，平面平面.是等腰三角形，且.在梯形中，，，，，
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？请说明理由.
18. 已知函数（）
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）当时，讨论函数的零点个数.
19. 已知抛物线.
（1）写出抛物线的直线方程，并求出抛物线的焦点到准线的距离；
（2）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点，，且点关于轴的对称点为，直线与轴交于点.
1）求点的坐标；
2）求与面积之和的最小值.
20. 若无穷数列满足：存在（，，），并且只要，就有(为常数，），则成具有性质.
（1）若具有性质，且，，，，，，求；
（2）若无穷数列的前项和为，且（），证明存在无穷多个的不同取值，使得数列具有性质；
（3）设是一个无穷数列，数列中存在（，，），且（），求证：“为常数列”是“对任意正整数，都具有性质”的充分不必要条件.
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